• No results found

Ентропія

Розглянемо рівняння першого закону термодинаміки у вигляді:

pdv dT

c

dqV  .

Розділимо ліву і праву частини рівняння на абсолютну температуру Т , з урахуванням Рівняння Клапейрона-Менделєєва для газу масою 1 кг , попереднє рівняння набере вигляду:

v R dv T

c dT T dq

V 1

. (1.45) Права частина даного рівняння є повний диференціал деякої функції змінних T і v. Позначимо цю функцію через s і отримаємо:

v R dv T

c dT

ds V 1 . (1.46) Зінтегрувавши рівняння (1.46), отримаємо:

s(T,v)cV lnTR1lnvC, (1.47) де С – стала величина.

Якщо маса газу m, то ентропія визначається за формулою:

C V R T c V T

s( , ) V ln  1ln  .

Функцію s(T,v) або s(T,V) називають ентропією робочого тіла.

Абсолютне значення ентропії не має потреби знати при вивченні термодинамічних процесів і тому для ідеального газу вважають, що ентропія робочого тіла дорівнює нулеві при нормальних умовах.

Враховуючи рівняння (1.45) і (1.46), отримаємо залежність:

T

dsdq. (1.48) Ентропія – це параметр стану газу, диференціал якого дорівнює зведеній теплоті оборотного процесу.

Зінтегрувавши рівняння (1.46), отримаємо:

1 1 2 1 1 2

2 ln ln

v R v T c T s

s   V  .

Отже, зміна ентропії не залежить від характеру термодинамічного процесу, а залежить від початкового та кінцевого значень параметрів стану.

Одним з важливих питань термодинаміки є підрахунок роботи виконаної робочим тілом та кількості теплоти підведеної до двигуна або відведеного від нього. За рівнем спожитої теплоти визначають його економічність. Це питання можна розв’язати графічним зображенням термодинамічного процесу в системі координат p, та v T,s. Нехай робоче тіло, що перебуває під тиском р і займає об’єм V , внаслідок термодинамічного процесу збільшує свій об’єм на величину dV. Елементарна робота газу дорівнює добуткові тиску на величину зміни об’єму, тобто dLpdV . Величина dL графічно дорівнює величині площі заштрихованої смужки на

рис 1.4а. Термодинамічний стан робочого тіла в кожний момент часу на p,V – діаграмі позначається точкою, а термодинамічний процес кривою 1–2.

Очевидно, що робота газу під час переходу від стану 1 до стану 2 залежить від характеру кривої термодинамічного процесу і величина роботи дорівнює площі фігури обмеженої кривою процесу 1–2 та віссю абсцис.

Рис. 1.4. Схематичне зображення виконаної роботи і підведеної теплоти

Підрахунок підведеної до термодинамічної системи теплоти можна здійснювати використовуючи зображення термодинамічного процесу в системі

s ,

T координат (рис. 1.4б), де по осі абсцис відкладають значення ентропії s, а по осі ординат – значення абсолютної температури T. Термодинамічний стан робочого тіла в кожний момент часу на T,s – діаграмі позначається точкою, а термодинамічний процес – лінією. Кількість теплоти підведеної або відведеної під час термодинамічного процесу на T,s – діаграмі визначається площею фігури обмеженої кривою 1–2 та віссю абсцис. Дійсно, якщо лінія 1–2 на T,s – діаграмі зображує довільний термодинамічний процес, то елементарна кількість теплоти процесу dq дорівнює Tdsі за величиною дорівнює площі заштрихованої смужки на рисунку 1.4б. T,s – діаграма дає можливість робити висновок відносно ступеня використання теплоти.

Основні процеси зміни стану робочого тіла

З усіх можливих термодинамічних процесів розглянемо тільки такі, в яких певний параметр залишається сталим. До таких процесів відносять:

1. ізохорний – термодинамічний процес зі сталим об’ємом (Vconst);

2. ізобарний – термодинамічний процес під сталим тиском (pconst );

3. ізотермічний – термодинамічний процес зі сталою температурою (Tconst);

4. адіабатний – термодинамічний процес без теплообміну з навколишнім середовищем (dq0);

5. політропний – термодинамічний процес в якому теплоємність робочого тіла вважається сталою величиною (Cconst).

Розгляд таких процесів є важливим, оскільки в багатьох випадках реальні процеси збігаються з вищевказаними.

В подальших викладах розглядаємо тільки зворотні процеси і рівняння записуємо для термодинамічних процесів газу масою 1 кг.

Т

ds s

T 1

2 р

dV V

р 1

2

dL

V1 V2

dq

s1 s2

а. б.

р2

р1 Т2

Т1

Ізохорний процес

Ізохорним термодинамічним процесом називають таку зміну термодинамічного стану газу в якому його об’єм залишається сталим (Vconst).

Даний процес можна реалізувати, нагріваючи або охолоджуючи газ в замкнутому об’ємі. Рівняння процесу: Vconst, тобто в p, – координатах v процес позначається прямими лініями 1 – 2 або 1 –2’ паралельними до осі ординат (рис. 1.5a).

Рис. 1.5. Зображення ізохорного процесу в p,v та T,s діаграмах

В ізохорному процесі, при наданні теплоти робочому тілу, тиск газу зростає і лінія процесу йде догори, до точки 2. При забиранні теплоти від робочого тіла тиск газу спадає і лінія процесу йде донизу, до точки 2(рис. 1.5а).

Використаємо запис першого закону термодинаміки для визначення рівняння ізохорного процесу в T,s – координатах. Оскільки в ізохорному процесі Vconst, то рівняння набирає вигляду:

dT c dqV .

Використавши залежність (1.48) і зінтегрувавши дане рівняння за умови, що cVconst, отримаємо:

1 2 1

2 ln

T c T s s

s    V

 .

На (рис. 1.5б) показано ізохорний процес в T,s – координатах. Процес 1 – 2 відбувається з отриманням теплоти (ds0), а процес 1 – 2 – із забиранням теплоти (ds0). Вся теплота процесу чисельно дорівнює площі під кривою 1 – 2 або 1 – 2.

Залежність між змінними параметрами стану визначаємо із рівняння стану ідеального газу, написаного для початкового та кінцевого станів.

Розділивши друге рівняння на перше, отримаємо:

1 2 1 2

T T p

p (1.49) тобто, в ізохорному процесі тиск газу змінюється прямо пропорційно його абсолютній температурі.

Оскільки робота газу пов’язана із зміною його об’єму, то в ізохорному процесі робота виконана газом дорівнює нулеві:

. 0 pdV dL 

v p

1 2

2 p1

p2

v1=v2

а.

'

p2

+q -q

s

T T2

T1 '

T2

s2

s1 '

s2

2

1 2' +q

-q б.

l=0

Отже, в ізохорному процесі все тепло йде на нагрівання газу:

) T T ( c u u

q21V 21 . (1.50) Для газу масою m, кількість теплоти отриманої ним в ізохорному процесі, дорівнює:

V2 2 V1 mt1 C

mt C

Q  , (1.51) де СV2,CV1 – відповідно середні кіломольні теплоємністі газу зі сталим об’ємом

на інтервалах (00С;t2

0 C) та (00С;t1 0С).

Ізобарний процес

Ізобарним термодинамічним процесом називають такий процес зміни стану газу, в якому тиск залишається сталим (pconst).

Здійснити цей процес можна нагріваючи або охолоджуючи газ в циліндрі з рухомим поршнем, навантаженим сталою силою.

При наданню теплоти робочому тілу, в ізобарному процесі, температура газу зростає і його об’єм збільшується, а при забиранні теплоти – спадає температура і зменшується об’єм. Рівняння процесу в p, – координатах v позначається прямими лініями 1 – 2 або 1 –2’ паралельними до осі абсцис (рис.

1.6а).

Рис. 1.6. Зображення ізобарного процесу в p,v та T,s координатах

Використаємо запис першого закону термодинаміки для визначення рівняння ізобарного процесу в T,s – координатах. Оскільки в ізобарному процесі pconst, то попереднє рівняння набирає вигляду:

dT c dqp .

Використавши залежність (1.48) і зінтегрувавши дане рівняння за умови, що cpconst, отримаємо:

1 2 1

2 ln

T c T s s

s    p

.

На (рис. 1.6б) показано ізобарний процес в T,s – координатах. Процес 1 – 2 відбувається з отриманням теплоти (ds0), а процес 1 – 2 – із забиранням теплоти (ds0). Вся теплота процесу чисельно дорівнює площі під кривою 1 – 2 або 1 – 2 (рис. 1.6б).

v p

2 p1=p2

v2

v1

а.

1 2

-q +q

s

T T2

T1 '

T2

s2 s1

'

s2

2

1 2' +q

-q

б.

'

v2

+l -l

Залежність між змінними параметрами термодинамічного стану визначаємо використовуючи рівняння Клапейрона-Менделєєва для ідеального газу написане для початкового та кінцевого станів. Розділивши друге рівняння на перше, та враховуючи, що р12, отримаємо:

1 2 1 2

T T v

v  або

1 2 1 2

T T V

V  , (1.52) Отже, в ізобарному процесі об’єм газу змінюється прямо пропорційно його абсолютній температурі.

Величина роботи в ізобарному процесі вказана на p, – діаграмі v площею фігури нижче прямих 1 – 2 або 1 – 2 (рис. 1.6а) і дорівнює:

lp1(v2v1). (1.53) Цьому рівнянню можна надати іншого вигляду якщо врахувати, що

1 1 1

1v RT

p  , p2v2R1T2 і р12 , то:

lR1(T2T1). (1.54) Величина теплоти надана робочому тілу в ізобарному процесі визначається за формулою:

) T T ( c

qp 21 . (1.55) Величину теплоти отриману газом масою m можна визначати за формулами:

QUL, (1.56) де V2 2 V1mt1

C mt C

U  

, а L p(V2 V1), або:

QQ2Q1, (1.57) де i pimti

C

Q  , Cpi – кіломольна ізобарна теплоємність газу з температурою ti.

Ізотермічний процес

Ізотермічним термодинамічним процесом називають таку зміну термодинамічного стану газу за якого температура його залишається сталою величиною (T=const).

Цей процес в p,v – координатах позначається рівнобічною гіперболою (рис. 1.7а).

При підведенні теплоти до робочого тіла його об’єм збільшується (крива 1 – 2 на рис. 1.7а), а при забиранні теплоти – об’єм газу зменшується (крива 1 – 2 на рис. 1.7а).

В T,s – координатах ізотермічний процес позначається прямою лінією 1 –2 або 1 –2, паралельною до осі абсцис (рис. 1.7б), тобто рівняння процесу в

s ,

T –змінних має вигляд Tсonst. Лінія 1 – 2 характеризує процес збільшення об’єму газу, а лінія 12 – процес стискання газу (рис. 1.7б).

Залежність між параметрами в ізотермічному процесі описується законом Бойля-Маріотта:

2 1 1 2

p p V

V  . (1.58)

Рис. 1.7. Зображення ізотермічного процесу в p,v та T,s координатах

Оскільки робота дорівнює: lp(v2v1), а врахувавши рівняння Клапейрона-Мендєлєєва для 1 кг газу і те, що в ізотермічному процесі

const T

R1  , то отримаємо:

1 2

1 ln

v T v R

l  (1.59) або

2 1 1 1 ln

p v p p

l  . (1.60) Оскільки в ізотермічному процесі Tconst тобто dT=0, то зміни внутрішньої енергії газу в ізотермічному процесі не спостерігається, тобто

0 u

 . Звідси випливає, що в ізотермічному процесі вся підведена теплота витрачається на виконання роботи:

2 1 1 1 1

1 ln 2 ln

p v p v p

T v R l

q   . (1.61) На (рис. 1.7б) вказано, що кількість підведеної теплоти в процесі 1 – 2 дорівнює qT(s2s1). Отже, зміна ентропії в ізотермічному процесі дорівнює

2 1 1 1 2 1 1

2 ln ln

p R p v R v T s q

s     .

Для газу масою m кількість теплоти отриманої ним в ізотермічному процесі дорівнює роботі, тобто:

L

Q  . (1.62) Адіабатний процес

Адіабатним термодинамічним процесом називають процес, який відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем (q0 або dq0) і теплоємність газу вважається сталою величиною.

а. б.

v p

2

v2

v1

1

2 +q -q

s

T

T12

s2 s1

1 2 2'

-q +q

'

v2

+l -l

'

s2

p1

p2

'

p2

Адіабатний процес можна реалізувати в циліндрі з рухомим поршнем, якщо циліндр та поршень виготовлені з абсолютно теплоізоляційного матеріалу. В реальному житті таке неможливе, але якщо процеси в циліндрі будуть відбуватись швидко, то процес можна з достатньою точністю вважати адіабатним.

Для отримання рівняння адіабатного процесу використаємо перший закон термодинаміки. Оскільки, в адіабатному процесі dq0, то отримаємо:

; vdp dT

cpcVdT pdv.

Розділивши ліву і праву частини одного рівняння на ліву і праву частини другого рівняння отримаємо:

pdv vdp c

с

V

p  .

Відношення масової питомої теплоємності газу під сталим тиском до масової питомої теплоємності зі сталим об’ємом називають показником адіабати, тобто:

c k c

V

p  .

Врахувавши попереднє рівняння і зінтегрувавши його за умови, що const

k  , отримаємо ln pvkconst. Це рівняння запишемо у вигляді:

pVkconst. (1.63) Рівняння (1.63) називають рівнянням адіабати.

В p,v – координатах адіабатний процес виразиться гіперболою v k

const

p  . Оскільки cpcV, тобто k1, то гіпербола є нерівнобічною (рис. 1.8а). Адіабатний процес 1 – 2 є процесом розширення газу, а процес 1 – 2 – процесом стискання газу (рис. 1.8а).

В T,s –координатах рівняння адіабатного процесу отримаємо із співвідношення dsdq T . Оскільки в адіабатному процесі dq0, то і ds0. Отже, зворотній адіабатний процес відбувається при сталій ентропії sconst . В T,s – координатах (рис. 1.8б) адіабатний процес зображується прямою паралельною до осі ординат. Пряма 1 – 2 дійсна під час розширення газу, а пряма 1 – 2 ілюструє процес стискання газу (рис. 1.8б).

Залежність між параметрами термодинамічного стану отримаємо із рівняння адіабати pvkconst. Для двох довільних точок справедлива рівність

k

k p v

v

p1 12 2. Враховуючи цю залежність запишемо, що:

k

v v p

p 

 



1 2 2

1 або

k

1 2 2

1

V V p

p 

 

 . (1.64) Це рівняння встановлює залежність між тиском та об’ємом в адіабатному процесі для двох термодинамічних станів робочого тіла.

Рис. 1.8. Зображення адіабатного процесу в p,v та T,s координатах

Запишемо рівняння Клапейрона-Менделєєва для газу масою 1 кг в двох термодинамічних станах. Поділивши одне рівняння на інше, отримаємо:

2 1 2 2

1 1

T T v p

v

p  .

Враховуючи залежність між тиском та питомим об’ємом (1.64), отримаємо:

1 k

1 2 2

1

V V T

T



 

 . (1.65) Це співвідношення описує залежність між абсолютними температурами газу та його об’ємами в адіабатному процесі. Враховуючи рівняння Клапейрона-Мендєлєєва та залежність (1.64), отримаємо:

k 1 k

2 1 2

1

p p T

T



 

 . (1.66) Це співвідношення вказує залежність між абсолютними температурами та тисками газів в адіабатному процесі.

Згідно з першим законом термодинаміки, qul. Оскільки в адіабатному процесі немає притоку теплоти, то q0. Отже, виконання роботи в адіабатному процесі можливе лише завдяки зменшенню внутрішньої енергії робочого тіла, тобто:







 



 







 



 



 

 

 

k k k

p p k

v p v

v k

T R T

T k

T l R

1

1 2 1

1 1

2 1 1

1 1

2 1

1 1

1 1 1 1

1 . (1.67)

або враховуючи рівняння Клапейрона-Мендєлєєва для газу масою 1 кг виконана робота визначається із співвідношення:

1 1 2 2

1

1 p v p v

l k

  . (1.68)

Величина виконаної газом роботи в адіабатному процесі описується площею нижче кривої 1 – 2 або 1 – 2(рис. 1.8а).

В адіабатному процесі робоче тіло не отримує і не витрачає теплоти, тобто q0. Зміна внутрішньої енергії, для газу масою m, обчислюється за формулою:

а. v б.

p

v1 '

v2 v2

p2

p1 '

p2

2 1

2'

-l +l

T

s

T1

T2

s1=s2

'

T2

1

2 2

q=0 q=0

1 1 V 2 2

V mt

C mt

C

U  

   , (1.69) а робота виконана газом масою m дорівнює:

p1V1 p2V2

1 k

L m

  . (1.70)

Необхідно враховувати, що в адіабатному процесі термодинамічна система теплоізольована, тому:

0 L U  

 .

Внаслідок того, що робота в адіабатному процесі здійснюється завдяки внутрішні енергії, то при розширенні газу відбувається зменшення внутрішньої енергії і тому його температура знижується, а при стисканні газу відбувається зростання внутрішньої енергії і тому його температура зростає.

Політропні процеси

Політропними термодинамічними процесами називають такі процеси в яких теплоємність газу вважається сталою (с=const).

В реальності теплоємність ідеальних і тим більш реальних газів залежить від температури. Отже, умова сталої теплоємності ідеальних газів є певним припущенням. Одначе введення поняття політропного процесу дозволяє якісно описати одним рівнянням доволі велику кількість різноманітних термодинамічних процесів і провести узагальнений аналіз різних властивостей цих процесів.

Для довільного термодинамічного процесу справедлива залежність dqcdT. (1.71) Розглянемо робоче тіло (газ) масою 1кг. Згідно з першим законом термодинаміки, справедливі залежності dqcVdTpdv та dqcpdTvdp. Враховуючи (1.71) отримаємо:

pdv с dT

cV) 

( та (ccp)dT vdp. Поділивши друге рівняння на перше, отримаємо:

pdv vdp c

c c c

V p 

 .

де відношення n c c

c c

V p

 , і називають показником політропи.

Враховуючи це позначення і зінтегрувавши попереднє диференціальне рівняння, отримаємо:

pvnconst або pVnconst. (1.72) Рівняння (1.72) описують політропний процес в змінних

 

p,v і

p,V

, тобто цими рівняннями описується велика кількість термодинамічних процесів.

Якщо n0, то рівняння (1.72) набирає вигляду pV0pconst, тобто має місце ізобарний процес.

При n1 рівняння (1.72) набирає вигляду pV1pVconst , тобто відбувається ізотермічний процес.

Для випадку якщо nk рівняння (1.72) набирає вигляду pVkconst, тобто відбувається адіабатний процес.

Для випадку якщо n, це рівняння набирає вигляду p0Vconst, а це відбувається в ізохорному процесі.

Оскільки рівняння політропи (1.72) аналогічне рівнянню адіабати (1.63), то замінивши відповідно показник адіабати k на показник політропи n, параметри стану газу в політропному процесі можна поєднати рівняннями:

n

1 2 2

1

V V p

p 

 

 ,

1 n

1 2 2

1

V V T

T



 

 , n

1 n

2 1 2

1

p p T

T



 

 . (1.73) Кількість теплоти, отриману робочим тілом масою 1 кг в політропному процесі, визначаємо використовуючи формулу dqcdT. Якщо відомі значення показників політропи і адіабати, то теплоємність газу дорівнює:

1 n

) k n ( c cV

  .

Отже, попереднє рівняння набере вигляду:

).

T T 1( n

k c n

q V 21

  (1.74) Виконану роботу газом у політропному процесі визначаємо аналогічно як і для адіабатного процесу замінивши тільки показник адіабати k на показник політропи n, тобто:







 



 







 



 



 

 

 

n n n

p p n

v p v

v n

T R T

T n

T l R

1

1 2 1

1 1

2 1 1

1 1

2 1

1 1

1 1 1 1

1 . (1.75)

Для газу масою m, кількість теплоти отриманої ним в політропному процесі визначаємо за формулою:

) T T 1( n

k n C m

Q V 21

 

 (1.76) або за формулами

L U

Q  , (1.77) де

1 1 V 2 2

V mt

C mt C

U

; p1V1 p2V2

1 n

L 1

;

CVi – середня кіломольна теплоємність робочого тіла зі сталим об’ємом.

Методика розв’язування задач

Задача 1. Повітря масою 10 кг охолоджується в закритій посудині від 1000С до 100C. Визначити тиск повітря після охолодження та кількість забраної теплоти, якщо початковий тиск повітря 1,5 атм. Умовна молярна маса повітря

=28,96кг/кмоль.

Оскільки повітря охолоджують в закритій посудині, то відбувається ізохорний процес. Використовуючи закон Шарля

1 2 1 2

T T p

p визначаємо тиск повітря в посудині після завершення термодинамічного процесу

115315 373

283 101325 5

, 1 T

T p p

1 2 1

2 Па.

Зміну внутрішньої енергії повітря внаслідок ізохорного процесу визначаємо за формулою UU2U1: де

47 , 719 96100

, 28 ) 10 314 , 8 15 , 29 ( mt C

U1V1 1   

кДж,

91 , 71 9610

, 28 ) 10 314 , 8 14 , 29 ( mt C

U2 V2 2

кДж.

Отже, зміна внутрішньої енергії повітря, внаслідок ізохорного процесу, становить U71,91719,47647,56кДж.

В ізохорному процесі газ не виконує роботи, тому L0.

Кількість теплоти наданої повітрю від навколишнього середовища під час ізохорного процесу визначаємо за формулою QUL. Підставляючи значення величин отримаємо Q647,560647,56кДж. Знак ( – ) вказує на те, що в цьому ізохорному процесі відбулося поглинання теплоти навколишнім середовищем, тобто дану кількість теплоти повітря віддало навколишньому середовищу.

Задача 2. Кисень, що має масу 2 кг та температуру 1770С, під час охолодження зменшив свій об’єм в 1,5 раза під сталим тиском 3 атм.

Визначити скільки теплоти забраної під час охолодження кисню, зміну внутрішньої енергії газу і виконану ним роботу.

Визначимо об’єм кисню на початку ізобарного процесу, використовуючи рівняння Клапейрона-Менделєєва RT

m

pV  . Підставляючи

значення величин, отримаємо 0,769

32 101325 3

450 8314 2

p V mRT

1 1

1

м3. Оскільки, за

умовою задачі, об’єм кисню зменшився в 1,5 раза, то його об’єм після завершення ізобарного процесу дорівнює 0,513

5 , 1

V2 V1 м3.

Температуру кисню після завершення ізобарного процесу визначимо, використовуючи закон Гей-Люссака

1 1 2 2

T V T

V , тобто 300

769 , 0

513 , 0 450 V

V T T

1 2 1

2 К

або t2300273270C.

Зміну внутрішньої енергії кисню, внаслідок ізобарного процесу, визначаємо за формулою UU2U1, де

24 , 239 32177

) 2 314 , 8 94 , 29 ( mt C

U1V1 1   

кДж,

38 , 35 3227

) 2 314 , 8 28 , 29 ( mt C

U2 V2 2

кДж.

Отже, зміна внутрішньої енергії кисню, після завершення ізобарного процесу, становить U35,38239,24203,86кДж.

Величина виконаної роботи киснем, під час ізобарного процесу, визначається за формулою Lp(V2V1). Підставляючи значення величин, отримаємо

77818 )

769 , 0 513 , 0 ( 101325 3

L    Дж = –77,8 кДж.

Оскільки, сумарна кількість теплоти наданої кисню йшла на зміну внутрішньої енергії газу та на виконання ним роботи, то QUL. Підставляючи значення величин, отримаємо Q203,8677,82281,68кДж.

Знак ( – ) вказує на те, що в цьому ізобарному процесі відбулося поглинання теплоти навколишнім середовищем.

Задача 3. 0,25 кг кисню під початковим тиском 100 кПа стискається компресором ізотермічно до тиску 20 МПа. Визначити кінцевий об’єм газу, виконану роботу і кількість забраної теплоти, якщо температура кисню після завершення ізотермічного процесу дорівнювала 270С.

Використовуючи рівняння Клапейрона-Менделєєва RT m pV  визначимо кінцевий об’єм кисню, тобто 0,000974

32 10 20

300 8314 25 , 0 p

V mRT

2 6 2

2

м3.

Оскільки, мав місце ізотермічний процес, то використаємо закон Бойля- Маріотта p1V1p2V2 для визначення початкового об’єму кисню

195 , 0 10

1 , 0

000974 ,

0 10 20 p

V V p

6 6 1

2 2

1

м3.

Зміна внутрішньої енергії кисню, внаслідок ізотермічного процесу не відбулась, оскільки в ізотермічному процесі температура робочого тіла стала, тобто U0.

Величину виконаної роботи в ізотермічному процесі визначаємо за формулами

1 2

V lnV RT m

L  або

2 1

p ln p RT m

L  . Підставляючи значення величин

отримаємо 103243

195 , 0

000974 ,

ln0 32

300 8314 25

,

L0 Дж= –103,243кДж.

Кількість наданої теплоти газу, під час ізотермічного процесу, визначаємо за формулою QUL. Підставляючи значення величин отримаємо Q0103,243103,243кДж. Знак ( – ) вказує на те, що в цьому ізотермічному процесі відбулося поглинання теплоти навколишнім середовищем.

Задача 4. В циліндрі дизельного двигуна внутрішнього згорання відбувається адіабатне стискання 1 кг повітря з температурою 170С та яке створює тиск 0,1 МПа. Ступінь стискання дорівнює 14. Визначити температуру і тиск повітря після завершення адіабатного процесу, а також роботу виконану повітрям. Показник адіабати взяти k1,4. Умовна молярна маса повітря

96 ,

28

кг/кмоль.

Використовуючи рівняння Клапейрона-Менделєєва RT m pV

визначимо початковий об’єм повітря, тобто

8325 , 0 96 , 28 10 1 , 0

290 8314 1

p V mRT

1 6 1

1

м3. Знаємо, що за умовою задачі ступінь стискання повітря дорівнює 14, отже об’єм повітря після завершення його стискання дорівнює V2V1 140,05946 м3.

Температуру повітря, після завершення адіабатного процесу, визначаємо за формулою

1 k

1 2 2

1

V V T

T





. Підставляючи значення величин

отримаємо 290 2,8738 833,4

05946 , 0

8325 , 290 0 V

T V T

1 4 , 1 1

k

2 1 1

2





К або t2 560,40C. Величину тиску повітря, після завершення адіабатного процесу,

визначаємо за формулою k

1 k

2 1 2

1

p p T

T





, звідки отримаємо

4023410 290

4 , 10 833 1 , T 0

p T

p 1,4 1

4 , 1 1 6

k k

1 1 2

2





Па = 4,02 МПа.

Зміну внутрішньої енергії повітря, внаслідок термодинамічного

процесу, визначаємо за формулою UU2U1 де

254 , 12 9617

, 28 ) 1 314 , 8 14 , 29 ( mt C

U1 V1 1

кДж,

77 , 427 4

, 96 560 , 28 ) 1 314 , 8 42 , 30 ( mt C

U2 V2 2

кДж.

Отже, зміна внутрішньої енергії повітря після завершення адіабатного процесу дорівнює U427,7712,254415,52 кДж.

З іншої сторони, оскільки під час адіабатного процесу немає притоку або відтоку теплоти від робочого тіла, то LU0. Отже, виконання роботи можливе лише завдяки зміні внутрішньої енергії, тому виконана робота дорівнює LU 415 кДж. Знак ( – ) вказує на те, що відбулось стискання робочого тіла, тобто роботу виконало навколишнє середовище а не робоче тіло.

Розбіжність в отриманих результатах є наслідком того, що в адіабатному процесі теплоємність газів вважають сталою величиною.

Задача 5. Повітря масою 2 кг стискається по політропі із зменшенням об’єму в 5 разів. Показник політропи n=1,3. На початку термодинамічного процесу температура повітря становила t1170C, а тиск – 2 атм. Визначити зміну внутрішньої енергії, виконану роботу та кількість підведеної теплоти після завершення політропного процесу.

Визначимо об’єм повітря на початку політропного процесу використовуючи рівняння Клапейрона-Менделєєва RT

m

pV  . Підставляючи

значення величин отримаємо 0,8217 96

, 28 101325 2

290 8314 2

p V mRT

1

1 1

м3. Згідно з

умовою задачі, об’єм повітря після завершення політропного процесу зменшився в 5 разів, тому V2 V1 50,1643м3.

Температуру повітря, після завершення політропного процесу, визначаємо за формулою n 1

1 2 2

1

V V T

T





. Підставляючи значення величин

отримаємо 290 1,62077 470

1643 , 0

8217 , 290 0 V

T V T

1 3 , 1 1

n

2 1 1

2





К або t21970C. Величину тиску повітря, після завершення політропного процесу, визначаємо за формулою n

1 n

2 1 2

1

p p T

T





. Звідки отримаємо

1642275 290

101325 470 T 2

p T

p 1,3 1

3 , 1 1

n n

1 2 1

2





Па = 1,64МПа.

Зміну внутрішньої енергії повітря визначаємо за формулою

1

2 U

U U  

 ; де 17 24,45

96 , 28 ) 2 314 , 8 14 , 29 ( mt C

U1 V1 1

кДж,

38 , 285 96197

, 28 ) 2 314 , 8 29 , 29 ( mt C

U2 V2 2

кДж. Отже, зміна

внутрішньої енергії внаслідок термодинамічного процесу становить 93

, 260 45

, 24 38 , 285

U   

кДж.

Величину виконаної роботи газом за час політропного процесу, визначаємо використовуючи формулу (pV pV )

1 n

L 1 1 1 2 2

. Підставляючи значення величин, отримаємо (202650 0,8217 1642130 0,1643) 344775

1 3 , 1

L 1

Дж = –345кДж.

Кількість отриманої теплоти газом під час політропного процесу дорівнює QUL. Підставляючи значення величин отримаємо

84 345

261

Q   кДж. Знак (–) вказує, що відбулося поглинання теплоти навколишнім середовищем.

Кількість отриманої теплоти газом в політропному процесі можна визначити використовуючи формулу (T T )

) 1 n (

) k n (

Q mCV 2 1

 .

Враховуючи значення величин, отримаємо

92 , 86 ) 290 470 ) (

1 3 , 1 ( 96 , 28

) 4 , 1 3 , 1 )(

314 , 8 29 , 29 (

Q 2

кДж.

Отримані розбіжності обумовлені тим, що теплоємність газу суттєво залежить від величини температури і є величиною змінною а не сталою.