Розділ 8. Моделювання ризиків виникнення динамічних
8.1. Динаміка структур
178
Розділ 8. Моделювання ризиків виникнення
179 обґрунтованим. При цьому все ще має місце здатність наближених рішень забезпечити задовільні результати з точки зору надійності та економічності розв’язання задачі.
Зв'язок між реальною фізичної системою і математично прийнятним рішенням для математичної моделі полягає в символічній заміні фізичної системи ідеалізованою системою, включаючи всі умови, які накладаються на фізичні задачі.
Вступ до структурної динаміки. Сучасні структури стають все більш точно визначеними, надлишкові сили в інженерних структурах зменшені за рахунок більш якісного аналізу та методів проектування. Такі структури реагують на те, яким чином навантаження прикладається в часі і, отже, динамічна поведінка структур враховується в дизайні статичних конструкцій. У цьому контексті слово динамічний означає "зміну з плином часу", чи сили, чи відхилення, чи навантаження будь-якої іншої природи.
Приклад динамічної структури: організована колона змішує крок, коли перетинають міст, щоб запобігти гармонічному збудженню коливань моста.
Рис. 8.1. Система із одним ступенем свободи, система SDOF
(
Single Degree-of-Freedom system)180 Найпростіший ідеалізований приклад коливні структури показано на рисунку 8.1. Це відома система із одним ступенем свободи, система SDOF
(
Single Degree-of-Freedom).Тут є тільки один можливий рух об'єму певної маси у вертикальному напрямку. SDOF системи мають велике значення, оскільки їх відносно легко проаналізувати математично, легко зрозуміти інтуїтивно. Структури будівельних конструкцій, які зазвичай розглядаються, можуть бути змодельовані з використанням моделі SDOF (див. рис. 8.2).
Рис. 8.2. Структури будівельних конструкцій, які можуть бути змодельовані з використанням моделі SDOF
Якщо врахувати, навісну масу системи, як показано на рисунку 8.2 з властивостями масою m = 10 кг і коефіцієнтом сили натягу k = 100 Н/м, і якщо дати масі відхилення 20 мм, а потім відпустити її (тобто привести масу в рух), спостерігатимемо за системою, що коливається, як показано на рисунку 8.3. З цього рисунка можемо визначити час між повторними розміщеннями маси в певному місці, що називається періодом руху коливань або просто періодом.
Позначимо його T, це час, необхідний для одного коливання.
Число коливань за секунду називається частотою коливань,
181 позначаємоf і вимірюється в герцах (кількість циклів за секунду). Таким чином, можемо написати:
1 .
f T
(8.1)Покажемо, що вираз для частоти коливань ідеально- пружного тіла маси
m
має вигляд:1 2 f k
m
. (8.2)
У розглянутій системі 1 100
0, 503
2 10
f Гц.
З формули (8.1) для частоти матимемо значення періоду коливань:
1 1
1, 987 0.503
T f сек.
На рисунку 8.3М можемо бачити, що це дійсно спостережуваний період.
Рис.8.3. Коливання системи з навісною масою m=10 кг і коефіцієнтом сили натягу (силою натягу пружини на одиницю довжини) k=100 Н/м
182 Для досягнення відхиленням 20 мм довелося застосувати силу два Ньютони (2 Н), враховуючи жорсткість пружини, що складає 100 Н/м.
Якщо припустити, що має місце лінійне збільшення навантаження до повного навантаження 2 Н, за період з 1, 3, 5 і 10 секунд, отримані переміщення (відхилення системи) показані на рисунку 8.4.
Рис.8.4. Переміщення, отримані при лінійному збільшенні навантаження до повного 2 Н, за період з 1, 3, 5 і 10 секунд
Враховуючи, що період коливань системи складає близько 2 секунд, ми бачимо, що при додаванні навантаження швидше, ніж період коливань системи, мають місце великі динамічні ефекти. Інакше кажучи, коли частота навантаження 1, 0,3, 0,2 Гц (для заданої дискретизації відліків навантаження) близько до або вище власної частоти системи (0.5 Гц в нашому випадку), бачимо, що динамічні ефекти великі. І навпаки, коли частота навантаження менша, ніж власна частота системи помітно незначні динамічні
183 ефекти. Переміщення видно після 10 секунд розгону навантаження, тобто 0,1 Гц навантаження (0,1 Гц).
Приклад: пішохідний міст у Аберфелді, Шотландія.
Представляє собою армований скловолокном полімеру вантовий міст через річку біля поля для гольфу в Аберфелді, Шотландія (рис. 8.5). Довжина його головного прольоту становить 63 м і, крім того, два сторонні прольоти по 25 м.
Тести показали, що частота власних коливань моста 1,52 Гц, що відповідає періоду коливань 0,658 секунди.
Рис. 8.5. Пішохідний міст в Аберфелді
Рис. 8.6: Часові криві сили навантаження для прогулянок: (а) моделювання нормального руху, (б)
моделювання швидкого руху
184 Мости, як правило, належать до досить легких конструкцій, у випадку, якщо навантаження складається з пішоходів, це часто призводить до створення динамічно- живої структури. Пішохідне навантаження міняється, якщо людина йде, приблизно з 0,65 до 1,3 ваги людини протягом приблизно 0,35 секунди, тобто навантаження змінюється з частотою приблизно 2,86 Гц (рис. 8.6). Якщо порівняємо це з власною частотою пішохідного моста A-берфелді, то бачимо, що пішохідне навантаження має більш високу частоту, ніж частота власних коливань мосту – таким чином з попереднього розгляду можна очікувати значних динамічних ефектів в результаті цього. Рисунок 8.7 показує коливну реакцію (відповідь моста в середині прольоту), коли пішохід перетинає міст: значна динаміка тут очевидна.
Рис. 8.7. Відстань подорожі (м). Середній діапазон відхилення (мм) в залежності від відстані (м)
Дизайни кодів як правило, вимагають власної частоти для пішохідних мостів та інших пішохідних структур такими, які повинні бути більшими 5 Гц, тобто періоду 0,2 секунди. Причини цього зрозумілі після нашого
185 обговорення: 0,35 секунди, період прикладеного навантаження (або 2,8 Гц), відбувається повільніше, ніж природний період коливань 0,2 секунди (5 Гц) і, отже, динамічний ефект в результаті не буде великим, іншими словами навантаження може вважатися застосовуваним статично.
Розглянемо ще раз Рис.8.1, відповідно до розгляду до сих пір, що графічно представлено на рисунках 8.3 і 8.4, коливання повинні відбуватись на невизначений термін.
Якщо консольно приставити лінійку до краю столу і клацнути її вона буде вібрувати протягом часу, але, безумовно, не нескінченно. Так само, наприклад, будівлі не вібрують на невизначений термін після землетрусу. Рисунок 8.7 показує, що вібрації загасали зовсім незабаром після того як пішохід вийшов з головного прольоту моста в Аберфелді.
У цьому випадку явно присутній ще один ефект – дія протилежна або "демпфування" вібрацій конструкції.
Рисунок 8.8 показує незгасаючу відповідь моделі поряд моделі з демпфуванням. Видно, що коливання загасають зовсім швидко – це, очевидно, залежить від рівня загасання.
Рис. 8.8. Незгасаючі коливання – відповідна модель;
поряд відповідна моделі із загасаючими коливаннями
186 Загасаючі і не загасаючі реакції динамічних систем.
Загасання відбувається в структурах через втрату енергії механізмів, які існують в системі. Прикладами є втрати на тертя в будь-якому з'єднанні або в системі та внутрішні втрати енергії, матеріалів за рахунок термо-еластичності, гістерезис та регіональний гранульований зв'язок матеріалів.
Точний характер загасання важко визначити, але науковцями було показано, що теоретично демпфування досить добре відповідає реальній структурі.