Витікання і дроселювання газів

де R₁ – питома газова стала для даного газу.

Враховуючи записи (1.92) і (1.93) рівняння (1.91) набере вигляду:

di (c_V R₁ )dT. (1.83) Згідно з рівнянням Майєра, існує залежність між питомими теплоємностями при сталому тиску і сталому об’ємі, тобто:

dT c

di _p . (1.84) Отже, зміна ентальпії ідеального газу для довільного термодинамічного процесу дорівнює добутку питомої теплоємності газу при сталому тиску на зміну температури. Якщо вважати, що теплоємність ідеального газу є величина стала, то зміна ентальпії робочого тіла дорівнює:

) T T ( c i i

i ₂  ₁  _{p 2}  ₁

 . (1.85) Витікання газу і ентальпія

В попередніх темах вважалось, що робоче тіло перебуває в стані спокою.

Тепер розглянемо термодинамічний процес в якому робоче тіло рухається вздовж циліндричного каналу. Для вивчення таких процесів здійснимо такі припущення:

– процес руху газу є стаціонарний, тобто через довільний переріз циліндричного каналу за однакові проміжки часу протікає однакова маса газу;

– кожний параметр робочого тіла в довільній точці перерізу циліндричного каналу має однакове значення, яке не змінюється з плином часу;

– силами тертя під час руху газу вздовж каналу знехтуємо.

Під час руху робочого тіла вздовж циліндричного каналу відбувається зміна кінетичної енергії робочого тіла, виконується робота опору зовнішнім силам та робота для проштовхування робочого тіла через циліндричний канал.

Отже, перший закон термодинаміки для 1кг робочого тіла, що рухається, запишемо в такому вигляді:

_пр

2

2 dl d w du

dq 

 



 

 , (1.86) де dq – кількість теплоти, яка поступила до робочого тіла; du – зміна внутрішньої енергії робочого тіла; w – швидкість руху робочого тіла; dl_пр – елементарна робота для проштовхування робочого тіла вздовж циліндричного каналу та робота опору зовнішнім силам.

Розглянемо робоче тіло між І і ІІ перерізами (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Схема циліндричного каналу p

s d

p d p 

 ds

І ІІ

Для визначення роботи, яку виконають сили тиску для переміщенні даного робочого тіла, розглянемо спочатку І переріз циліндричного каналу.

Нехай в І перерізі тиск робочого тіла дорівнює p

, площа поперечного перерізу F та переріз за проміжок часу dt переміститься на величину ds

. Робота, яку виконають сили тиску робочого тіла, дорівнює:

pdv pFds

dl₁   .

Знак (–) вказує, що сили тиску стискають робоче тіло.

Розглянемо ІІ переріз циліндричного каналу. Оскільки тиск газу

змінюється вздовж циліндричного каналу, то його тиск в ІІ-ому перерізі дорівнює p dp

 , площа поперечного перерізу F dFі переріз за проміжок часу dt переміститься на величину ds

. Робота, яку виконають сили тиску робочого тіла, дорівнює:

s d dF F dp p

dl₂ (  )(  ) .

Знак (+) вказує, що тиск газу намагається збільшити об’єм газу.

Сумарна робота виконана газом за проміжок часу dt дорівнює:

1 пр dl2 dl

dl   або dl_пр  pdvvdpd( pv). (1.87) Будемо розглядати короткотривале проходження газу через циліндричний канал, тому втратою теплоти внаслідок теплообміну з навколишнім середовищем знехтуємо, тобто dq0. Тоді зінтегрований запис першого закону термодинаміки для робочого тіла масою 1 кг набере вигляду:

2 1 2 1 2

2 i i

2 w 2

w    .

Отже, швидкість витікання газу з циліндричного каналу можна визначити з рівняння:

2 1 2

1

2 2(i i ) w

w    . (1.88) На практиці, швидкість з якою газ входить в циліндричний канал незначна за величиною, тому швидкість витікання газу із циліндричного каналу можна визначати за формулою:

) i i ( 2

w₂  ₁  ₂ . (1.89) Рівняння Бернуллі

Здиференціювавши це рівняння Клапейрона-Менделєєва для робочого тіла масою 1 кг і зробивши деякі перетворення отримаємо, що:

2 0 d w v

dv p T dp c

2

p 



 



 



 



  . (1.90) Оскільки, проходження газу вздовж сопла вважаємо адіабатним процесом, то між параметрами стану дійсна залежність pv^k const. Здиференціювавши це рівняння отримаємо:

v 0 k dv p

dp   ,

Враховуючи це співвідношення та після деяких перетворень рівняння (1.90) набере вигляду:

2 vdp d w

2 

 



 . (1.91) Дане рівняння записане у вигляді:

vdp

wdw . (1.92) називають рівнянням Бернуллі.

З аналізу цього рівняння отримаємо, що в газовому потоці величини dw і dp завжди мають протилежні знаки. Якщо тиск вздовж циліндричного каналу зменшується, то швидкість руху газового потоку вздовж каналу зростає і навпаки. Циліндричний канал, вздовж якого відбувається збільшення швидкості руху газу та зменшення тиску, називають соплом. Циліндричний канал, вздовж якого швидкість руху газу спадає а його тиск зростає, називають дифузором.

Число Маха

Рух газу в циліндричному каналі відбувається при нерівномірному розподілі тиску газу вздовж каналу. Відомо, що довільна зміна тиску поширюється в газовому середовищі з швидкістю звуку. Якщо в деякий момент часу відбудеться зміна тиску газу в середовищі, в яке витікає газовий потік, то ця зміна тиску буде поширюватися хвилею вздовж каналу проти руху газового потоку. Внаслідок цього відбудеться нове розподілення тиску газу вздовж каналу і зміниться швидкість витікання газу. При цьому зміна тиску буде поширюватись з відносною швидкістю, яка дорівнює різниці швидкості звуку в робочому тілі а та швидкості газового потоку w, тобто із швидкістю aw. Швидкість звуку в ідеальному газі залежить від температури і дорівнює:

T kR a ₁ , де ^R₁ – питома газова стала і k показник адіабати.

Ця формула справедлива тільки для ідеального газу. Для реального газу швидкість звуку залежить не тільки від температури але і від величини тиску.

Якщо швидкість газового потоку в каналі w більша від швидкості звуку a, то такі газові потоки називають надзвуковими, в протилежному випадку – дозвуковими. Відношення швидкості газового потоку до швидкості звуку називається числом Маха, і його позначають буквою М, тобто:

a

M  w. (1.93) Швидкість витікання та масова витрата робочого тіла

Зінтегрувавши рівняння (1.91) отримаємо, що:

^{ }



²

1

p

p 2 1 2

2 vdp

2 w 2

w , (1.94)

де w₂ – швидкість витікання газу з циліндричного каналу; w₁ – швидкість входження газу в канал; p₁ – тиск газу на вході в циліндричний канал; p₂ – тиск газу під час виходу з каналу (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Схематичне зображення циліндричного каналу

Із залежності між тиском газу та його питомим об’ємом в адіабатному процесі отримаємо, що:

k 1 2 k 1 2 k

1 1 k 1 1

p v p p

v

v p  .

Підставляючи це співвідношення в (1.88) і припустивши, що в переважній більшості швидкість газу на вході в циліндричний канал незначна отримаємо, що швидкість, з якою відбувається витікання газу через переріз циліндричного каналу в навколишнє середовище, можна визначити за формулою:



















 





 

 k 1 k

1 2 1

1

2 p

1 p v 1p k

k

w 2 (1.95)

або, враховуючи, що p₁v₁  R₁T₁ і _{1 1} RT₁ v

p ^  , отримаємо:



















 





 



 k 1 k

1 2 1

2 p

1 p RT 1 k

k w 2

 . (1.96) Масу робочого тіла, що витікає з циліндричного каналу за секунду, тобто секундну витрату робочого тіла, обчислюємо за формулою:



















 







 





 

 k 1 k

1 k 2

2

1 2 1

1

2 p

p p

p v p 1 k

k F 2

M , (1.97) або



















 







 





 

 k 1 k

1 k 2

2

1 2 1 2 1

2 p

p p

p RT p 1 k

k F 2

M 

(1.98)

2 1

w2

p2

 w1

р1

де F₂ – площа поперечного перерізу циліндричного каналу з якого витікає газ;

2 2w

F – об’єм газу, що проходить через переріз циліндричного каналу за 1 секунду; ₂ – питома густина робочого тіла на виході з циліндричного каналу.

Аналізуючи формулу (1.96) можна твердити, що швидкість газового потоку на виході з каналу залежить від величини відношення тисків. Якщо

2

1 р

р  , то швидкість витікання газового потоку з перерізу циліндричного каналу нульова, витікання робочого тіла відсутнє. Із зменшенням величини відношення тисків швидкість газового потоку w₂ зростає. Отже, для визначення швидкості витікання газового потоку з циліндричного каналу необхідно знати величину тиску робочого тіла р₂ на виході з каналу. Якщо тиск в навколишньому середовищі поступово зменшувати, то швидкість витікання робочого тіла з циліндричного каналу буде поступово зростати. Цей ефект триватиме до тих пір поки швидкість потоку на виході з каналу буде менша за дозвукову. Отже, якщо швидкість газового потоку на виході з каналу дозвукова, то тиск газу на виході з каналу дорівнює тиску навколишнього середовища, тобто р₂  р_с.

Після того як швидкість потоку на виході з циліндричного каналу досягне швидкості звуку, для даного робочого тіла, то зміна тиску в навколишньому середовищі не впливатиме на розподіл тиску в каналі, оскільки швидкість поширення тиску та швидкість потоку є рівними за величиною але протилежно напрямлені. Швидкість газового потоку, яка дорівнює швидкості звуку в робочому тілі на виході з каналу, називають критичною швидкістю. Отже, при подальшому зменшенні тиску в навколишньому середовищі, швидкість потоку на виході з каналу буде дорівнювати критичній швидкості і не буде змінюватись. В цьому випадку p₂  p_c і p₂  p_c. Для того, щоб визначити критичне значення відношень тисків, після якого подальше зменшення тиску навколишнього середовища не сприяє зростанню швидкості витікання газу з каналу, прирівняємо праву частину формули (1.96) до значення швидкості звуку в робочому тілі на виході з каналу, тобто до a kR₁T₂ і отримаємо залежність:

2 1 k

1 k

1 2кр

1 kRT

p 1 p RT 1 k

k

2 



















 





 



 ^.

Піднісши ліву та праву частини рівняння до квадрата отримаємо:

 

 ^{k 2}

1 k

1 кр RT

k RT 1

1 k

k

2 



 

 

 



. (1.99) де

1 2кр

кр p

 p

 величина відношення тисків.

Оскільки наявний адіабатний процес витікання газу, то існує залежність між параметрами стану робочого тіла Підставляючи це співвідношення в попереднє рівняння, отримаємо:

k 1 k k кр

1 k

1 кр

1 k

2 ^{ }













 

   або

1 k

k 2

1 k

кр  



 .

Отже, відношення тисків дорівнює величині:

1 k

k

1 кр 2

кр k 1

2 р

р 



 





 

  , (1.100) Звідси величина критичного тиску на виході з циліндричного каналу дорівнює:

1 k

k кр 1

2 k 1

р 2

р  ^



 





  . (1.101) З формули (1.100) видно, що критичне відношення тисків залежить тільки від показника адіабати. Значення k і _кр для різних газів такі:

V p

c

k c _кр – одноатомний газ 1,67 0,487 – двоатомний газ, повітря 1,40 0,528 – триатомний газ, перегріта пара 1,29 0,547.

Отже, якщо відношення тиску в навколишньому середовищі рс до тиску в резервуарі р1 більше за _кр, то витікання робочого тіла з каналу відбувається з дозвуковою швидкістю, яка визначається за формулою (1.96). Тиск в робочому тілі на виході з каналу дорівнює тиску в навколишньому середовищі р₂  р_с, температура газу визначається за формулою:

k 1 k

1 с 1

2 р

T р T





 



  , (1.102)

а питомий об’єм: ^k

1

c 1 1

2 p

v p

v 



 



  . (1.103) Якщо відношення тиску в навколишньому середовищі р_с до тиску в резервуарі р1 менше за _кр,то витікання робочого тіла з циліндричного каналу відбувається з швидкістю звуку в робочому тілі на виході з каналу. Тиск газу на виході з каналу дорівнює:

кр 1 1 k

k 1

kp 2

2 р

1 k p 2

р p   



 





 

 ^ , (1.104) його температура визначається за формулою:

1 k T 2 T_{2 1}

  , (1.105) а питомий об’єм газу дорівнює: ^{k 1}

1 1

2 2

1 v k

v  ^



 



   . (1.106)

Швидкість витікання робочого тіла при критичному тиску робочого тіла на виході з циліндричного каналу називають критичною швидкістю і позначають w_kp. Підставивши рівняння (1.100) в рівняння (1.96), отримаємо значення критичної швидкості:

1 1

kp p v

1 k

k w 2

  або

¹

kp

RT 1 k

k

w 2 

  . (1.107) Отже, критична швидкість витікання робочого тіла із циліндричного каналу повністю визначається початковими умовами



p₁,v₁,T₁



.

Масова витрата робочого тіла при критичній швидкості газового потоку буде найбільша і дорівнюватиме:

1 k

1 k

1 1 2

max k 1

2 v

F kp

M ^





 





  або ^{k 1}

1 k

1 2 1 2

max k 1

2 RТ

F kp

M ^





 





  

. (1.108)

Рис.1.21. Схеми залежності витрат робочого тіла і тиску газу, на виході з каналу, від тиску навколишнього середовища

На рис. 1.21а суцільною лінією окреслена залежність витрат робочого тіла від величини . Якщо величина  зменшуючись змінюється від 1 до _kp, то масова витрата робочого тіло зростає від нульової до максимальної M_max. Під час подальшого зменшення величини  масова витрата робочого тіла залишається сталою і дорівнює максимальній M_max.

На рис. 1.21а вказана залежність тиску газу р₂, на виході з циліндричного каналу, залежно від величини тиску навколишнього середовища рс. Якщо величина тиску в навколишньому середовищі така, що дійсна

нерівність _кр

1 c

p

0 p  , то величина тиску робочого тіла на виході з каналу дорівнює:

кр 1

2 ркр р

р   .

Під час подальшого зростання величини відношення

1 с

р

р , то величина тиску робочого тіла на виході з каналу дорівнює тиску в навколишньому середовищі р₂  р_с.

М

р1

рс

  кр 1

0  Мmax

1 1

0 _кр

кр

р1

рс

 

1

2 р

р

а. б.

Отже, під час визначення швидкості витікання газу із циліндричного каналу необхідно спочатку визначити величину відношення тиску навколишнього середовища до тиску робочого тіла на вході в циліндричний канал. Можливі такі випадки:

І випадок.  _kp. В цьому випадку газ розширюється повністю і тиск на виході з циліндричного каналу дорівнює тиску навколишнього середовища

с

2 р

р  . Швидкість витікання робочого тіла з циліндричного каналу менша від критичної і її величина визначається за формулою (1.96), масова витрата робочого тіла – (1.98), температура газу – (1.102), питомий об’єм – (1.103).

ІІ випадок.  _kp. В цьому випадку тиск газу на виході із циліндричного каналу дорівнює критичному або тиску в навколишньому середовищі, тобто p₂  p_2kp  р_с. Розширення робочого тіла повне. Швидкість газу на виході з циліндричного каналу і секундна витрата робочого тіла визначаються за формулами (1.96, (1.98) або (1.107), (1.108). Температуру газу та його питомий об’єм на виході з циліндричного каналу визначають за формулами(1.102), (1.103) або (1.105), (1.106).

ІІІ випадок.  _kp. В цьому випадку відбувається неповне розширення робочого тіла і тиск на виході з циліндричного каналу дорівнює

с kp 2

2 p p

р   ; швидкість витікання робочого тіла із циліндричного каналу буде критичною і визначається за формулою (1.107), а витрата робочого тіла за секунду максимальною та описується залежністю (1.108). Температуру газу та його питомий об’єм на виході з циліндричного каналу визначають за формулами (1.106), (1.107).

Сопло Лаваля

Враховуючи рівняння (1.92) та залежність, отриману від диференціювання рівняння адіабати, отримаємо:

v kpvdv wdw .

Оскільки pvR₁T, то попереднє рівняння набере вигляду:

v Tdv kR

wdw ₁ . (1.109) Якщо рух газового потоку сталий, то маса робочого тіла, яка проходить через довільний переріз, є величиною сталою і тому справедливе рівняння:

const Fw

 ,

де F – площа поперечного перерізу циліндричного каналу,  – питома густина робочого тіла в площині перерізу; w – швидкість газового потоку в площині перерізу.

Здиференціювавши це рівняння та поділивши його на Fw, отримаємо:

0 w dw F

dF

d   



 . (1.110)

Здиференціювавши залежність v1, та поділивши її на v, і підставивши в залежність (1.110), отримаємо:

w dw F

dF v

dv   .

Звідси рівняння (1.110), враховуючи попередню залежність і зробивши деякі спрощення, набере вигляду:

F dF w

)dw 1 M

( ²   . (1.111) Аналізуючи це рівняння отримаємо:

– якщо швидкість потоку дозвукова (M 1), то для того, щоб швидкість потоку зростала (dw0) , необхідно зменшувати площу поперечного перерізу каналу (dF0);

– якщо швидкість потоку дозвукова (M 1), то для того, щоб швидкість потоку спадала (dw0) , необхідно збільшувати площу поперечного перерізу каналу (dF 0);

– якщо швидкість потоку надзвукова (M 1), то для того, щоб швидкість потоку зростала (dw0) , необхідно збільшувати площу поперечного перерізу каналу (dF 0);

– якщо швидкість потоку надзвукова (M 1), то для того, щоб швидкість потоку спадала (dw0) , необхідно зменшувати площу поперечного перерізу каналу (dF 0).

Отже, при дозвуковій швидкості газового потоку на вході в канал, який звужується, неможливо досягнути надзвукової швидкості потоку на виході з каналу. Максимальна швидкість, яка може бути досягнута в цьому випадку, дорівнює швидкості звуку для даного робочого тіла в момент його виходу з каналу. Неперервного збільшення швидкості потоку від дозвукової до надзвукової, при зменшенні тиску вздовж циліндричного каналу, можна досягнути тільки в комбінованому каналі. Отже, якщо швидкість потоку на вході в циліндричний канал дозвукова, то канал повинен спочатку звужуватись, а після досягнення потоком критичної швидкості канал необхідно розширювати. Таке сопло називають соплом Лаваля. Отже, сопло Лаваля складається з двох частин (рис. 1.22). Перша частина циліндричного каналу звужуюча і в цій частині каналу швидкість газового потоку дозвукова. В перетині, де площа перерізу каналу найменша, швидкість потоку досягає критичного значення, тобто швидкості звуку для робочого тіла в цьому перерізі.

Рис. 1.22. Схема сопла Лаваля

 5 , 0 wкр

w1

w2

1 2 3

w3

Друга частина сопла розширена і в ній швидкість газового потоку надзвукова та робоче тіло розширюється, поки тиск в потоці зрівняється з тиском навколишнього середовища, тобто виконуватиметься рівність p₃  p_c . Отже, сопло Лаваля використовує для пришвидшення газового потоку всю різницю тисків, від тиску робочого тіла на вході в сопло р₁, до тиску в навколишньому середовищі p_c, яке повинно задовольняти умові р_с _крр₁. При повному використанні різниці тисків швидкість потоку на виході з сопла Лаваля визначається за формулою:



















 





 

 k 1 k

1 с 1

1

3 p

1 p v 1p k

k

w 2 (1.112)

або



















 





 



 k

1 k

1 с 1

3 p

1 p RT 1 k

k w 2

 . (1.113) Температура робочого тіла та його питомий об’єм на виході з другої частини сопла Лаваля визначається за формулами:

k 1 k

1 с 1

3

р р Т

Т





 



 ,

k

3 1 1

c

v v p

p 

 



 . (1.114) Якщо задана витрата робочого тіла, то площа мінімального перерізу 2 (рис. 1.22) визначається за формулою:

1 k

) 1 k ( 5 , 5 0

, 0

1 1

min k 1

2 v

М kp

F ^



 



 





 



 



  . (1.115) Площа поперечного перерізу 3 (рис. 1.22), сопла Лаваля, визначається за формулою:

5 , 0 k

1 k

1 c k

2

1 1 c k

1 min

3 p

p p

p 1

k 2 1 k

1 F k

F

 





















 







 



 



 









  (1.116)

Величина кута конусності частини сопла Лаваля, яка розширюється, вибирається так, щоб не відбувався відрив газового потоку від стінок каналу, тобто в межах 7⁰ 15⁰.

Дроселювання газу

На практиці доволі часто в каналах, по яких рухається робоче тіло, трапляються різкі звуження поперечного перерізу. В таких місцях, за звужуванням, тиск різко зменшується, а питомий об’єм газу зростає. Крім цього, після звужування, за перешкодою, утворюються газові вихори і виникає шкідливий опір. Отже, при проходженні газу через звужування поперечного

перерізу в каналі відбуваються незворотні термодинамічні процеси, тобто відбувається перетворення кінетичної енергії робочого тіла в тепло.

Дроселювання – це зменшення тиску під час проходження робочого тіла крізь місцеве звуження в каналі.

На рис 1.23 показана зміна тиску робочого тіла під час його проходження через місцеве звуження в каналі.

Рис. 1.23. Схема розподілу тиску вздовж каналу з дроселюючим пристроєм

Якщо припустити, що процес дроселювання відбувається беззовнішнього теплообміну до і після дроселювання, то перший закон термодинаміки набере вигляду:

_{1 2}

2 1 2

2 i i

2 w 2

w    , (1.117) де і – ентальпія газу масою 1 кг;

2 w²

– кінетична енергія газу масою 1кг.

Оскільки, швидкість потоку до і після звуження поперечного перерізу суттєво не змінюється, тобто w₁ w₂, отримаємо, що:

2

1 i

i  . (1.118) Отже, ентальпія робочого тіла внаслідок його дроселювання не змінюється.

Рівняння (1.118) називають рівнянням процесу дроселювання.

Для ідеального газу зміна ентальпії залежить тільки від зміни температури робочого тіла, тобто:

) T T ( c i

i₂  ₁  _{p 2}  ₁ .

Оскільки, для ідеального газу під час дроселювання виконується рівність (1.118), то отримаємо:

2

1 T

T  або t₁ t₂.

Отже, під час дроселювання ідеального газу його температура не змінюється.

У процесі дроселювання реального газу його температура може знижуватись, підвищуватись або залишатись сталою. Величина температури реального газу, яка після дроселювання залишається сталою, називається температурою інверсії. Для кожного газу є певна величина температури інверсії і приблизне значення цієї температури визначається з виразу:

кр інв 6,75Т

Т  ,

де Т_кр – критична температура газу.

w2

w1

p2

p1

р1

p2 р

Критична температура речовини – це значення температури, при відповідному тиску, коли між рідким і газоподібним станами речовини немає відмінностей.

Якщо при цьому тиску початкова температура газу більша за температуру інверсії, то під час дроселювання температура його зростає; якщо початкова температура газу менша за температуру інверсії, то під час дроселювання температура газу спадає. Тиск в робочому тілі, під час проходження через отвір, різко зменшується а потім трохи збільшується, тобто відбувається втрата тиску на деяку величину р (рис. 1.23). Втрата тиску буде тим більша, чим менша площа отвору, крізь який протікає робоче тіло.

Методика розв’язування задач

Задача 1. Балон містить метан з температурою 57⁰С під тиском 1,6 атм.

Визначити швидкість витікання метану і секундну масову витрату робочого тіла, що витікає через отвір площею F 4мм² в навколишнє середовище, яке перебуває під тиском 100кПа. Показник адіабати k 1,3.

Визначаємо тиск в балоні в системі СІ p₁ 1,6101325162120Па. Для нашого випадку відношення тиску в навколишньому середовищі до тиску в

балоні дорівнює 0,617

162120 100000 р

р

1

с  

  . Критичне значення величини 

визначається за формулою ^{k 1}

k

кр k 1

2 ^



 





 

 . Підставляючи значення показника

адіабати отримаємо 0,546

1 3 , 1

2 ^{1,3 1}

3 , 1

кр  



 





  ^

 . Оскільки, дійсна нерівність

кр

  , то тиск робочого тіла на виході з циліндричного каналу дорівнює тиску в навколишньому середовищі, тобто р₂  р_с.

Швидкість витікання газу через отвір визначаємо за формулою:



















 





 

 k

1 k

1 2 CH

1

2 p

1 p RT 1 k

k w 2

 4 . Підставляючи значення величин отримаємо, що:



0,617



396^м_с 16 1

330 8314 1 3 , 1

3 , 1

w 2 ^1,3

1 3 , 1

2  



 

 





  ^ .

Секундну масову витрату робочого тіла визначаємо за формулами:



















 







 





 

 k 1 k

1 k 2

2

1 2 1

1

2 p

p p

p v p 1 k

k F 2

M

або

   





 



 

  ^{k2 kk1}

1 СН 2 1

2 RT

p 1 k

k F 2

M  ⁴  

.

Підставляючи значення величин отримаємо:



0,617

 

0,617



0,00103^кг_с 330

8314

16 162210 1

3 , 1

3 , 1 10 2

4

M ^1,3

1 3 , 1 3

, 1 2 2

6  



 



 



 



 

 ^{ } .

Температуру робочого тіла під час виходу з циліндричного сопла визначаємо за формулою: ^k

1 k

1 2 1

2 р

Т р Т





 



  .

Підставляючи значення величин отримаємо:

K 295 6168

, 0 330

T ^1,3

3 , 0

2    або t₂ 22⁰C.

Питомий об’єм метану зміниться і його величину визначаємо за

формулою: ^k

1

2 1 1

2 p

v p

v 

 



  .

Підставляючи значення величин отримаємо ^1,3 ₁

1 1

2 1,45v

100000 162120 v

v  



 



  ,

де:

1 4

1 1

p CH

v RT

  або v₁ 1,058м³кг 16

162120 330

8314 



  .

Задача 2. В балоні міститься кисень з температурою 21⁰С під тиском Па

185507

р₁  . Визначити швидкість витікання кисню і секундну масову витрату робочого тіла, що витікає через отвір площею F 6мм² в навколишнє середовище, яке перебуває під тиском 98кПа. Показник адіабати k1,4.

Для нашого випадку 0,52828

185507 98000 р

р

1

с  

  . Критичне значення

величини  визначається за формулою ^{k 1}

k

кр k 1

2 ^



 





 

 . Підставляючи

значення показника адіабати отримаємо 0,52828 1

4 , 1

2 ^{1,4 1}

4 , 1

кр  



 





  ^

 . Оскільки

дійсна рівність  _кр, то тиск робочого тіла на виході з циліндричного каналу дорівнює тиску в навколишньому середовищі, тобто р₂  р_с.

Швидкість витікання газу через отвір визначаємо за формулою:



















 





 

 k

1 k

1 2 О

1

2 p

1 p RT 1 k

k w 2

 2 ^{або kp} ¹

RT 1 k

k

w 2 

  .

Підставляючи значення величин отримаємо:

мс 5 , 32 298

294 8314 1 4 , 1

4 , 1

w₂ 2  



  .

Секундну масову витрату робочого тіла визначаємо за формулами:



















 







 





 

 k 1 k

1 k 2

2

1 2 1

1

2 p

p p

p v p 1 k

k F 2

M або ^{k 1}

1 k

1 2 1 2

max k 1

2 RТ

F kp

M ^





 





  

. Підставляючи значення величин отримаємо:

кгс 002757 ,

4 0 , 2

2 294

8314

32 185507 4

, 10 1 6

M ^0,4

4 , 2 2

6  



 









 

 ^ .

Температуру робочого тіла під час виходу з циліндричного сопла

визначаємо за формулою ^k

1 k

1 2 1

2 р

Т р Т





 



  .

Підставляючи значення величин отримаємо:

K 245 52828

, 0 294

T ^1,4

4 , 0

2    або t₂ 28⁰C.

Питомий об’єм кисню зміниться і дорівнюватиме ^k

1

2 1 1

2 p

v p

v 



 



  або

1 4

, 1

1 1

2 1,58v

98000 185507 v

v  



 



  ,

де

1 2

1 1

p О

v RT

  або v₁ 0,412м³кг 32

185507 294

8314 



  .

Задача 3. В резервуарі міститься азот з температурою 18⁰С під тиском 4атм

р₁  . Визначити швидкість витікання азоту та секундну масову витрату робочого тіла, що витікає через отвір площею F 50мм² в навколишнє середовище, яке перебуває під тиском 100кПа. Показник адіабати k1,4.

Для нашого випадку 0,24673

101325 4

100000 р

р

1

с 

 

  . Критичне значення

величини  визначаємо за формулою ^{k 1}

k

кр k 1

2 ^



 





 

 . Підставляючи значення

показника адіабати отримаємо 0,52828 1

4 , 1

2 ^{1,4 1}

4 , 1

кр  



 





  ^

 . Оскільки має місце

нерівність  _кр, то тиск робочого тіла на виході з циліндричного каналу дорівнює критичному тиску, тобто ^{k 1}

k кр 1

2 k 1

р 2 р

р  ^



 





 

 або р₂  р₁_кр.

Підставляючи значення величин отримаємо

Па 214113 4

, 2 101325 2 4

p ^0,4

4 , 1

2  



 



 

 .

Швидкість витікання газу через отвір визначаємо за формулою (1.107), тобто _kp p₁v₁

1 k

k w 2

  або

¹

kp

RT 1 k

k

w 2 

  . Підставляючи значення величин

отримаємо: 317,5^м_с

28 291 8314 1 4 , 1

4 , 1

w₂ 2  



  .

Секундну масову витрату робочого тіла визначаємо за формулою (1.108). Підставляючи значення величин отримаємо:

кгс 0472 , 4 0

, 2

2 291

8314

28 101325 16

4 , 10 1 50

M ^0,4

4 , 2 2

6  



 











 

 ^ .

Температура азоту під час виходу з циліндричного сопла дорівнює 1

k Т 2 Т_{2 1}

  , тобто 242,5K

1 4 , 1 291 2

T₂ 

 

 або t₂ 30,5⁰C.

Питомий об’єм азоту зміниться і дорівнюватиме ^{k 1}

1 1

2 2

1 v k

v  ^



 



   або

1 1

4 , 1

1 1

2 1,58v

2 1 4 , v 1

v  



 



 

 ^ , де:

1 2

1 1

p N

v RT

  або v₁ 0,213м³кг 28

405300 291

8314 



  .

Задача 4. Через сопло Лаваля витікає ацетилен з температурою 20⁰С, який міститься в резервуарі під тиском р₁ 600000Па. Визначити швидкість витікання ацетилену з сопла Лаваля, секундну масову витрату робочого тіла.

Площа найвужчого перерізу сопла F₂ 40мм². Навколишнє середовище перебуває під тиском 95кПа. Показник адіабати k 1,3.

Для нашого випадку 0,158

600000 95000 р

р

1

с  

  . Критичне значення

величини  визначаємо за формулою ^{k 1}

k

кр k 1

2 ^



 





 

 . Підставляючи значення

показника адіабати отримаємо 0,546 1

3 , 1

2 ^{1,3 1}

3 , 1

кр  



 





  ^

 . Оскільки має місце

нерівність  _кр, то сопло Лаваля використовує для пришвидшення газового потоку всю різницю тисків, від тиску р₁ в резервуарі (на вході в сопло) до тиску навколишнього середовища р_с.

При повному використанні різниці тисків швидкість потоку на виході з сопла Лаваля визначається за формулою (1.112) або (1.113). Підставляючи значення величин отримаємо

мс 4 , 600000 530

95000 26 1

3 , 0

293 8314 3

, 1

w 2 ^1,3

3 , 0

3 



















 











  .

Температура робочого тіла на виході з другої частини сопла Лаваля визначається за формулою (1.114). Підставляючи значення величин отримаємо

К 600000 191

95000

Т 293 ^1,3

3 , 0

3  



 



  або t₃ 82⁰C.

Питомий об’єм ацетилену на виході з сопла Лаваля визначаємо за

формулою (1.114). Звідки отримаємо, що ^k

1

c 1 1

3 p

v p

v 



 



  або

1 3

, 1

1 1

3 4,13v

95000 600000 v

v  



 



  , де:

2

1 2

1 1

H

p C

v RT

  або v₁ 0,156м³кг 26

600000 293

8314 



  .

Секундну масову витрату робочого тіла визначимо використовуючи формулу (1.108). Підставляючи значення величин отримаємо

кгс 0523 , 3 0

, 2

2 293

8314

26 10

36 3 , 10 1 40

M ^0,3

3 , 2 10

6  



 











 

 ^ .

ДОДАТОК

Середня кіломольна теплоємність газів під сталим тиском

 

^C_р ^ _кмоль^кДж_К

0С ^O2 N₂ H₂ CO CO₂ H2O ^SO2 Повітря 0 29,28 29,20 28,64 29,13 36,06 33,40 38,85 29,14 100 29,55 29,21 28,92 29,19 38,27 33,63 40,65 29,15 200 29,94 29,29 29,08 29,33 40,23 33,97 42,33 29,29 300 30,41 29,43 29,16 29,54 41,85 34,43 43,88 29,52 400 30,896 29,64 29,20 29,81 43,25 34,92 45,22 29,79 500 31,36 29,90 29,26 30,12 44,59 35,46 46,39 30,11 600 31,79 30,19 29,33 30,45 45,82 36,01 47,35 30,42 700 32,18 30,49 29,43 30,78 46,91 36,59 48,23 30,74 800 32,53 30,79 29,54 31,11 47,89 37,18 48,94 31,04 900 32,83 31,08 29,67 31,41 49,29 37,77 49,61 31,34 1000 33,14 31,36 29,81 31,70 49,56 38,37 50,16 31,62 1100 33,40 31,62 29,97 31,97 50,28 38,96 50,66 31,88 1200 33,64 31,88 30,13 32,23 50,93 39,34 51,08 32,13 1300 33,87 32,11 30,31 32,47 51,54 40,12 – 32,36 1400 34,09 32,34 30,49 32,69 52,09 40,66 – 32,59 1500 34,29 32,55 30,67 32,89 52,60 41,19 – 32,79 1600 34,48 32,74 30,85 33,09 53,07 41,70 – 32,99 1700 34,67 32,93 31,04 33,27 53,51 42,20 – 33,17 1800 34,84 33,10 31,22 33,44 53,91 42,67 – 33,35 1900 35,02 33,26 31,40 33,60 54,29 43,12 – 33,51 2000 35,18 33,42 31,58 33,75 54,64 43,56 – 33,66

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Башкирцев М.П., Бубырь Н.Ф., Минаев Н.А., Ончуков Д.Н. Основы пожарной теплофизики: Учебник для пожарно – техн. училищ. – М.:

Стройиздат, 1984. – 200с.: ил.

2. Величко Л.Д., Лозинський Р.Я., Семерак М.М. Термодинаміка та теплопередача в пожежній справі: Навчальний посібник. – Львів: Вид-во

«СПОЛОМ», 2011. – 504с; іл..;табл.

3. Драганов Б.Х., Бессараб О.С., Долінський А.А., Лазаренко В.О., Міщенко А.В., Шеліманова О.В. Теплотехніка. – Київ.: Фірма «Інкос», 2005. – 400 с.: іл.

4 Кошмаров Ю.А. Теплотехника: учебник для вузов. – М.: ИКЦ

«Академкнига», 2006. – 501 с.: ил.

5. Котов Г.В. Прикладная термодинамика. – Минск.: КИИ МЧС РБ, 2004. – 422 с.: ил.

Для нотаток

Для нотаток

In document Термодинаміка Навчальний посібник Львів 2019 (2)УДК 697.98 ББК 31+38 Л 72 Лозинський Р.Я (сторінка 73-96)