13 турнірів юних математиків Прикарпаття

І.В. ФЕДАК

ТРИНАДЦЯТЬ ТУРНІРІВ ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ

ПРИКАРПАТТЯ

(2005 – 2017 рр.)

Івано-Франківськ – 2017 –

~ - 2 - ~ ББК: 22.1

УДК: 51(075.8) Ф 45

Федак І. В. Тринадцять турнірів юних математиків Прикарпаття (2005 – 2017 рр.). – Івано-Франківськ: ПНУ, 2017. – 196 с.

Друкується за рішеннями вченої ради факультету математики та інформатики Прикарпатського національного університету

імені Василя Стефаника

(протокол №3 від 17 листопада 2017р.)

Рецензенти:

Кукуш О. Г., доктор фізико-математичних наук, професор (Київський національний університет ім. Тараса Шевченка),

Никифорчин О. Р., доктор фізико-математичних наук, професор (Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника).

Зібрані задачі І – ХІІІ обласних турнірів юних математиків Прикарпаття 2005 – 2017 років та їх розв’язання. Наведені правила проведення та рекомендації щодо оцінювання виступів учасників турніру.

Для учнів 9–11 класів загальноосвітніх шкіл, гімназій та ліцеїв, професійно-технічних навчальних закладів, студентів, які навчаються за напрямом підготовки «математика», учителів математики, керівників математичних гуртків та всіх любителів нестандартних математичних задач.

© Федак І. В., 2017

~ - 3 - ~ Передмова

З 1998 в Україні започатковано ще один вид змагань – Всеукраїнські турніри юних математиків, членом журі яких автор посібника є з 2006 року. На відміну від математичних олімпіад, ТЮМ – це колективне змагання учнів в умінні розв’язувати складні задачі проблемного дослідницького характеру, переконливо відстоювати свій розв’язок, брати участь у наукових дискусіях.

На Прикарпатті такі турніри проводяться з 2005 року. Їх переможцями ставали команди Надвірнянського ліцею (2005 рік), Івано-Франківського обласного фізико-технічного ліцею-інтернату (2006 – 2010, 2012, 2014 та 2016 роки), Парищенської ЗОШ (2011 рік), Івано-Франківського природничо-математичного ліцею (2013, 2015, 2017 роки).

Переможці обласних турнірів 6 разів ставали другими та 9 – третіми призерами Всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М.Й. Ядренка. Зокрема, 9 разів відзначилися команди Івано-Франківського обласного фізико-технічного ліцею-інтернату, з них 3 рази тріумфуючи другими. Ще тричі були другими команди природничо-математичного ліцею Івано-Франківської міської ради.

Кожна з цих команд по одному разі змагалася в фіналі такого турніру.

Серед переможців також збірна команда області та, що особливо приємно, команда «Париська Сорбонна» моєї рідної Парищенської ЗОШ І – ІІІ ступенів Надвірнянської районної ради, яка першою з сільських шкіл у 2011 році стала призером ХIV Всеукраїнського турніру юних математиків, продемонструвавши найкращий результат серед команд, які фінішували третіми.

При підготовці до цього турніру вдалося розв’язати одну з проблем, сформульованих Леонардом Ейлером ще понад 250 років тому, щодо нескінченності множини трійок натуральних чисел a b c, , таких, що найбільший спільний дільник трійки чисел a b c, , дорівнює 1, і кожне з чисел a  b c, ab bc ca  та ab c є квадратом натурального числа. Детальніше про розв’язання цієї проблеми ви зможете прочитати в даному посібнику.

~ - 4 - ~

Слід відзначити також команди Манявської ЗОШ І – ІІІ ступенів Богородчанської районної ради, які двічі були учасниками півфінальних боїв на Всеукраїнських турнірах юних математиків, що, безумовно, є значним досягненням сільських школярів та їх вчителя Білусяка Івана Танасовича.

Не залишилися без призових місць команди Прикарпаття і в 2017 році. Дипломами третього ступеня ювілейного ХХ Всеукраїнського ТЮМ нагороджені команди Івано-Франківського природничо-математичного та Надвірнянського ліцеїв.

Відзначилися учні з Івано-Франківщини і в особистій першості.

У 2007 році абсолютним переможцем Х Всеукраїнського турніру став учень Івано-Франківського обласного фізико-технічного ліцею- інтернату Возняк Андрій. А в 2011 році його успіх повторив капітан команди «Париська Сорбонна» Парищенської ЗОШ Чіх Володимир, який став першим володарем призу пам’яті професора Лейфури В.М.

У пропонованому вашій увазі посібнику зібрані завдання І – ХІІІ Івано-Франківських обласних турнірів юних математиків. До переважної більшості задач наведені розв’язання, до окремих задач – суттєві просування в їх розв’язуванні чи посилання на джерела, в яких такі розв’язання викладені детальніше. Для частини задач обґрунтовані загальніші твердження.

У додатках наведені правила проведення обласних турнірів юних математиків та рекомендації щодо оцінювання виступів учасників турнірів.

На завершення хочу подякувати своїм колегам-математикам Никифорчину О.Р., Казмерчуку А.І., Шарманському Б.Я. за багаторічну творчу співпрацю у проведенні тренувальних зборів до заключних етапів всеукраїнських турнірів юних математиків.

Також висловлюю вдячність всім учасникам, членам журі, оргкомітетів та експерт-консультантам Івано-Франківських та Всеукраїнських турнірів, з якими мені було приємно спілкуватися на протязі багатьох років їх проведення.

~ - 5 - ~

ЗАВДАННЯ ОБЛАСНИХ ТУРНІРІВ ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ 2005 рік

Перший обласний турнір юних математиків

1. Числа 1, 2, 3, ..., 25 записують у таблиці 5 5 так, щоб у кожному рядку вони були записані у порядку зростання. Яке найбільше та найменше значення може набувати при цьому сума чисел третього стовпчика?

2. Всередині правильного трикутника ABC вибрали точку M так, що AMB 115 ,^o BMC 125 .^o Доведіть, що існує трикутник зі сторонами AM, BM , CM, і знайдіть кути цього трикутника.

3. Знайдіть довжини сторін всіх рівнобедрених трикутників, які медіана, проведена до бічної сторони, ділить на два трикутники з периметрами 24 см та 30 см.

4. Порівняйте числа

2 3 2005

1 2 2004

2 3 2005

1  2  ... 2004 та 2005 .²

5. Виясніть, чи існує прямокутний трикутник з цілочисловими довжинами сторін, всі вершини якого лежать у вузлах решітки зі стороною 1, а жодна зі сторін не проходить по лініях решітки.

6. Дослідіть, для яких nN число a_n 11...1 , у записі якого використано 3ⁿ одиниць, ділиться на 3 .ⁿ

7. Довжини сторін трикутника дорівнюють 30 см, 45 см та 60 см.

Кожну сторону поділили на 15 рівних частин, а точки поділу з’єднали з протилежними вершинами. Підрахуйте кількість точок всередині трикутника, в яких перетинаються по три з проведених відрізків.

8. Є три бікфордові шнури, кожен з яких згорає нерівномірно на протязі однієї години. Які відрізки часу можна відміряти з їх допомогою? Вкажіть всі можливі варіанти.

9. Не користуючись поняттям похідної, знайдіть найбільше та найменше значення функції 4 1 .

2 y  x   x

10. Знайдіть хоч один многочлен з цілими коефіцієнтами, який має своїм коренем число 2  3 5. Який найменший степінь може мати такий многочлен?

~ - 6 - ~

11. Точки сторін правильного трикутника розмалювали у два кольори. Чи обов’язково існує: а) рівносторонній, б) прямокутний трикутник, всі вершини якого мають однаковий колір?

12. Послідовність

 

3 2 1 9

 

n n n n

a _  a a _ a _    n  Чи правильно, що всі елементи цієї послідовності є натуральними числами?

13. На площині задані дві паралельні прямі і відрізок на одній з них. З допомогою лише лінійки:

а) поділіть цей відрізок пополам;

б) намалюйте вдвічі довший за нього відрізок.

Врахуйте, що лінійкою можна проводити лише прямі лінії.

14. Доведіть, що якщо для кутів трикутника виконується рівність sin sin sin

cos cos cos 3,

A B C

A B C

  

  то хоч один з цих кутів дорівнює 60 .^o 15. Розв’яжіть у цілих числах нерівність

2 2 2

3 3 2 .

a b c  ab b c

16. На сторонах AB та BC гострокутного трикутника ABC побудуйте такі точки M та K відповідно, щоб виконувалися рівності:

а) AM  MK  KC; б) BM  MK KC.

17. Доведіть, що для всіх натуральних n виконується нерівність 1 2 ...  n 2.

18. Чотири прямі при перетині обмежують чотири трикутники.

Чи правильно, що кола, описані навколо цих трикутників, перетинаються в одній точці? Якщо ні, то у яких випадках таке твердження буде справедливим?

19. Відомо, що x  y z a, x²  y² z² b², ^{1 1 1 1}. x   y z c Обчисліть x³  y³ z³.

20. Знайдіть всі функції f N: N такі, що виконується рівність

   

   

 

f n  f f n  f f n для всіх натуральних n 2.

~ - 7 - ~ 2006 рік

Другий обласний турнір юних математиків

1. a_n n⁴ 2n³ 2n² 2n2. Знайдіть множину всіх nN, для яких a_n є квадратом натурального числа.

2. Дослідіть, для яких nN число n! закінчується на 20060...0.

3. Числа 2ⁿ та 5ⁿ (мова йде про їх десятковий запис) записані одне за одним. Опишіть множину всіх тих nN, для яких у результаті таких дій отримуємо n 1 цифрове число.

4. У десятковому записі числа 8²⁰⁰⁶ закреслили останню цифру і додали її до числа, яке утворилося після закреслювання. З отриманим при цьому числом проробили аналогічні операції, і так далі. Чи правильно, що на деякому кроці у результаті таких дій появиться число вигляду 10 ,ⁿ де nN?

5. Квадратний тричлен ax² bxc для всіх xZ набуває цілочислових значень. Які необхідні та достатні умови повинні задовольняти при цьому його коефіцієнти , , ?a b c

6. Корені кожного з рівнянь x²  p x_k q_k 0, k 1,2,...,2006, є дійсними і за абсолютною величиною не перевищують одиниці. Чи правильно, що й корені рівняння ^{2 1} ... ^{2006 1} ... ²⁰⁰⁶

2006 2006 0

p p q q

x    x   

також дійсні і, якщо це так, то чи обов’язково вони за абсолютною величиною не перевищують одиниці ?

7. Чи правильно, що числа tg²20 ,^o tg²40 ,^o tg²80^o є коренями рівняння x³ 33x² 27x 3 0?

8. Дослідіть, для яких чисел m n k, , N корені рівняння

3 2

0

x mx nx k можуть бути довжинами сторін деякого трикутника.

9. Невід’ємні числа x₁ та x₂ такі, що їх сума дорівнює 2. Якого найбільшого значення може набувати вираз _{2 2}

1 2

1 1

1 x 1 x ?

 

~ - 8 - ~

10. Послідовність

 

2

1 1

1 1

2, , .

2 2

n n

a a _  a n N

  

Дослідіть, чи для всіх натуральних чисел n виконується нерівність

1 2

... 3.

n 2 a a  a 

11. У деякій країні кожні два міста з’єднані між собою дорогою з одностороннім рухом. Чи обов’язково знайдеться таке місто, починаючи з якого вдасться об’їхати всі міста цієї країни, побувавши у кожному з них по одному разові?

12. У Миколки було 100 кульок, занумерованих числами від 1 до 100 включно. Він загубив n кульок. При якому найбільшому n ви завжди зумієте із тих кульок, які залишилися, вибрати 4 кульки так, щоб сума номерів на двох із них дорівнювала сумі номерів на двох інших кульках?

13. Діаметром фігури називають відстань між двома її найбільш віддаленими точками. Відома теорема про те, що відношення довжини лінії, яка обмежує опуклу фігуру, до діаметра цієї фігури не перевищує . Які ви зможете виділити класи опуклих фігур, для яких таке відношення дорівнює ?

14. Який висновок ви зробите про площу трикутника у кожному з наступних випадків:

а) довжини всіх сторін трикутника менші за одиницю;

б) довжини всіх медіан трикутника менші за одиницю;

в) довжини всіх бісектрис трикутника менші за одиницю;

г) довжини всіх висот трикутника менші за одиницю?

15. При якому найбільшому k для довжин сторін і площі довільного трикутника виконується нерівність:

а) abbcca kS; б) a² b² c² kS?

16. Для яких трикутників довжини сторін, радіуси вписаного та описаного кіл задовольняють співвідношення 1 1 1 1

2 ? ab  bc  ca  Rr

~ - 9 - ~

17. Для яких , ,a b cZ виконується рівність

o o o

180 120 90

sin cos tg 2 ?

a  b  c 

18. Яке з чисел: cos36 чи ^o tg36^o, є, на вашу думку, більшим?

Відповідь обґрунтуйте.

19. Які правильні многокутники ви зможете отримати при перетині куба площиною?

20. Яку найбільшу кількість прямокутних паралелепіпедів розмірами 1 1 4  ви зумієте помістити у такий же паралелепіпед розмірами 6 6 2006? 

2007 рік

Третій обласний турнір юних математиків

1. В одній багатодітній сім’ї семеро дітей любили капусту, шестеро – моркву, п’ятеро – горох, четверо – капусту і моркву, троє – капусту і горох, двоє – моркву і горох, а один із задоволенням їв і капусту, і моркву, і горох. Скільки дітей було у цій сім’ї?

2. У прямокутній таблиці розмірами m n кожне число дорівнює добутку суми всіх чисел рядка на суму всіх чисел стовпчика, на перетині яких воно знаходиться. Яких значень може набувати сума всіх чисел такої таблиці?

3. Є лінійка довжиною 1метр. Яку мінімальну кількість поділок ви зумієте нанести на цю лінійку, щоб, прикладаючи її у кожному з випадків лише один раз, можна було відміряти будь-яке ціле число сантиметрів від 1 до 100 включно?

4. Нехай m n k, ,  попарно взаємно прості цілі числа, більші за одиницю. Вивчіть питання про розв’язність рівняння x^m  yⁿ z^k у натуральних числах , , .x y z

5. Перемножуючи різні шестицифрові числа на число 142857, учень виявив одну цікаву особливість, яку проілюстровано у наступному прикладі:

135425864574

135426 142857 19346552082.

  7 

Сформулюйте та обґрунтуйте загальне правило множення у такий

~ - 10 - ~

спосіб інших шестицифрових чисел на 142857.

6. Знайдіть усі трійки простих чисел p q r, , , для яких виконується рівність p p(  3) q q(  3) r r( 3).

7. Дослідіть, скінченною чи нескінченною є множина розв’язків рівняння x³ y³ z³ 2 у цілих числах , , .x y z

8. Для додатних чисел a b c, , , таких що abc 1, знайдіть найбільше значення виразу

2 2 2 2 2 2

1 1 1

(a 1) b 1 (b 1) c 1 (c 1) a 1.

        

9. Доведіть, що для x  2, y  2 виконується нерівність

4 2 2 4 2 2

( 1)( ).

x x y  y  xy x  y

10. Знайдіть усі трійки натуральних чисел m n k, , , які мають таку властивість: для будь-яких натуральних чисел a та ,b які дають однакові остачі при діленні на m, однакові остачі при діленні на n і однакові остачі при діленні на k, остачі від ділення цих чисел на mnk також однакові.

11. Розв’яжіть систему рівнянь:

2 3

1,

3 1

2,

1 2

3.

x y z

y z x

z x y

   



   



   



12. Для

x _ 2007

обчисліть значення виразу

2 2 3 ... 2006 2007 .

tgx tg x tg x tg x  tg x tg x

13. Знайдіть усі неперервні функції f R: R, для яких для всіх дійсних x y, виконується рівність f ²( )x  f x f y( ) ( ) x²  xy. Чи існують розривні функції, які також задовольняють цю рівність для всіх дійсних , ?x y

~ - 11 - ~

14. Доведіть або спростуйте наступні «ознаки» рівності трикутників за двома сторонами і: а) медіаною; б) висотою;

в) бісектрисою, проведеною до третьої сторони.

15. Дослідіть, яку найбільшу площу може мати трикутник, бісектриса одного з кутів якого ділить протилежну сторону на відрізки з довжинами 3 см та 2 см.

16. Доведіть, що відрізки, які з’єднують вершини довільного трикутника з точками дотику вписаного у цей трикутник кола до протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

17. Перевірте, чи існує шестикутник, всі кути якого рівні, а з довжин його сторін можна утворити:

а) арифметичну прогресію з різницею d 0;

б) геометричну прогресію із знаменником q 1.

18. У п’ятикутнику ABCDE, вписаному в коло, відстані від точки E до прямих AB BC, та CD дорівнюють відповідно a b, та .c Знайдіть відстань від E до прямої AD.

19. На площині задана пряма m і точки A та B, які лежать в одній півплощині відносно цієї прямої, але на різних відстанях від неї. На прямій m вибрали точку C, рівновіддалену від точок A та B, і таку точку D, що сума відстаней від неї до точок A та B набуває найменшого з усіх можливих значень. Доведіть, що точки , , ,A B C D належать одному колу.

20. На столі знаходиться n сірників. Двоє по черзі забирають їх зі столу. У кожному із двох можливих варіантів гри за один хід дозволяється забрати 1 або 2 сірники. Але у першому варіанті один і той же гравець двічі підряд не може брати по одному сірникові, а у другому варіанті – двічі підряд не може брати по два сірники.

Програє той, хто не зможе зробити хід за правилами. Який варіант гри слід вибрати першому гравцеві, щоб шанси на виграш у нього були більшими, якщо до свого вибору:

а) він не знає початкової кількості сірників;

б) знає лише, що їх або 2006, або 2007, або 2008 ?

(Після вибору варіанту гри стартова кількість сірників стає відомою).

~ - 12 - ~ 2008 рік

Четвертий обласний турнір юних математиків

1. У центрі круглого озера плаває Василина Прекрасна. Навколо озера бігає Кощій Безсмертний. Чи зможе вона врятуватися, якщо плаватиме в 4 рази повільніше, ніж бігає Кощій, а бігтиме швидше від нього?

2. На прямокутному листку паперу розмірами 2007 2008 , починаючи з одного кута, точка рухається по бісектрисі цього кута.

Дійшовши до сторони, вона здійснює поворот на 90^o і продовжує рухатися далі за цим же правилом. Чи зможе така точка через деякий час знову опинитися в куті цього чотирикутника?

3. На площині довільним чином вибрали три точки. Яка ймовірність того, що вони є вершинами гострокутного трикутника?

4. Миколка і Петрусь незалежно один від одного виклали плитками 1 2 прямокутник розмірами ^n





5. Розшифруйте приклад на множення п п н

н н п н п н п н н н н н н н





в якому буквами п позначені парні цифри, а буквами н непарні цифри.

6. Знайдіть всі многочлени P x( ), які для кожного xR задовольняють рівність P x(  x²)P x( )P x( ²).

7. На дошці записані числа 1 1 1 , , ..., .

2 3 2008 За один крок дозволяється витерти будь-які два числа x та y і записати замість них число x y xy. Ці дії повторюються доти, поки не залишиться

~ - 13 - ~

одне число. Яким може бути це число? Вкажіть всі можливі варіанти.

8. Порівняйте числа 1 3 5 2007

2 4 6   ... 2008 та 1 50. 9. Доведіть, що якщо n m², то

 

n 2

 n

10. Перевірте, чи всяка нескінченна арифметична прогресія містить як підмножину нескінченну геометричну прогресію.

11. Послідовність

 

2

1 1 1.

n n n

a a _ a _  Які майже геометричні прогресії, що починаються з числа a₁ 1, ви зумієте виділити?

12. Чотири діагоналі опуклого п’ятикутника паралельні до відповідних сторін цього п’ятикутника. Чи обов’язково п’ята діагональ також буде паралельною до сторони п’ятикутника?

13. Нехай M та N  середини діагоналей чотирикутника, K  точка перетину його середніх ліній, L середина відрізка MN. Дослідіть, для яких чотирикутників точки K та L можуть співпадати.

14. Зобразіть на площині множину точок, координати яких задовольняють нерівність ^{min max}

 





15. Задано три відрізки. Якщо з них не можна скласти трикутник, то більший з них вкорочують на суму довжин двох менших відрізків. Якщо трикутник знову не можна утворити, то повторюють вказану операцію. Чи може такий процес тривати до нескінченності?

16. Задано опуклий чотирикутник ABCD, в якому AB AD, .

ACB ADB

   Нехай N і K  основи перпендикулярів, опущених з вершини A на прямі BC та BD відповідно. Доведіть, що пряма NK перпендикулярна до AC.

17. Миколка задумав двоцифрове число, а Петрусь намагається його вгадати. Число вважається вгаданим, якщо точно вгадана хоч одна з його цифр, а щодо другої цифри допущена похибка, не більша одиниці. Наприклад, для вгадування числа 37 Петрусеві достатньо назвати одне з таких п’яти чисел: 37, 36, 38, 27, 47. Чи зможе Петрусь

~ - 14 - ~

за 22 спроби гарантовано вгадати задумане Миколкою число? А за 21 спробу?

18. На засіданні комісії присутні n осіб. Дослідіть, для яких nN може статися так, що: а) жодні двоє з них; б) жодні троє з них не матимуть однакової кількості знайомих.

19. Дослідіть, для яких kN існує таке натуральне число n, для якого виконується нерівність

 

1 1 1 1

1 ... 2008 1 ... .

2^k n^k 2^k n 1 ^k

       

 20. Доведіть нерівність

  







2009 рік

П’ятий обласний турнір юних математиків

1. Знайдіть загальну кількість всіх натуральних чисел n 10, цифри яких записані або лише у порядку зростання (кожна наступна цифра більша від попередньої), або лише у порядку спадання (кожна наступна цифра менша від попередньої).

2. Нехай ^{S n}

 

     

k

nS n S S n  S S S n 

3. Дослідіть, для яких натуральних чисел n та k число









4. Доведіть, що існує нескінченна кількість взаємно простих цілих чисел a та b, для яких рівняння ax³ by³ 2009³ 3²⁰⁰⁹ не має розв’язків у цілих числах x та y.

5. Дійсні числа a b c, , задовольняють такі три нерівності:

0,

a  b c ab bc ca 0, abc 0.

Чи обов’язково всі вони є додатними?

6. Знайдіть найбільше значення m та найменше значення k, для яких довжини сторін будь-якого трикутника задовольняють нерівності

~ - 15 - ~

   

 

m abbcca  a b c k abbcca

7. Для дійсних значень параметрів a та b розв’яжіть рівняння

2 2

2.

x x

a x a b

    

    

   

8. Для кожного значення параметра aR розв’яжіть нерівність

6

4 2 3 2

. a x a  x a  x

9. Знайдіть найменше значення функції





1 1

x y

f x y

y x

 

  ^, якщо x 1, y 1.

10. Доведіть, що для кожного kN існує таке nN, для якого виконується рівність ^{НСД п}

 

 

 

Знайдіть найменше значення ,k для якого існують принаймні два різні значення n, які задовольняють цю рівність.

11. Знайдіть хоч одну функцію f R: _  R_ таку, що для всіх 0

x  виконується рівність ^f



  

12. Обчисліть такі добуток та суму косинусів:

а) 2 1004

cos cos ... cos ,

2009 2009 2009

 _  _{ } 

б) 2 4 2008

cos cos ... cos .

2009 2009 2009

 _  _{ } 

13. Задані два ірраціональні числа  1 та  1 і побудовані послідовності натуральних чисел an 

 

 

(Тут

 

14. Середини сторін двох опуклих чотирикутників співпадають.

Доведіть, що площі таких чотирикутників рівні. Чи залишиться справедливим таке твердження для опуклих: а) п’ятикутників, б) шестикутників?

~ - 16 - ~

15. Бісектриси AM та BK нерівнобедреного трикутника ABC перетинаються в точці I, причому MI  KI. Доведіть, що існує безліч трикутників з такими властивостями, і знайдіть множину всіх можливих значень величин кута ACB таких трикутників.

16. Знайдіть множину всіх точок M всередині гострокутного трикутника ABC, для яких виконуються рівності

2 2 2 2 2 2

. AB MC  BC MA CA MB

Чи існують такі точки всередині тупокутного трикутника?

17. Дослідіть, чи можуть дві різні параболи бути гомотетичними між собою. Якщо так, то знайдіть всі можливі коефіцієнти гомотетії.

18. У Миколки є лінійка з поділками через 1 см. Допоможіть йому з допомогою такої лінійки провести хоч одну пряму, перпендикулярну до заданої прямої. Використання лінійки в ролі циркуля для побудови кіл не дозволяється.

19. Поділіть заданий на площині відрізок пополам, користуючись лише циркулем. Знайдіть всі n 1, для яких такий відрізок можна поділити циркулем на n рівних частин.

20. Дослідіть, з якої найменшої кількості однакових пірамід може бути складений куб.

2010 рік

Шостий обласний турнір юних математиків

1. Спостерігач знаходиться на березі річки у точці C і хоче виміряти її ширину. Він фіксує точку A на протилежному березі так, щоб кут між лінією берега і прямою CA був близьким до прямого.

Потім витягує вперед праву руку з піднятим вгору великим пальцем, заплющує ліве око і суміщає піднятий палець з точкою A. Далі, відкриває ліве око, заплющує праве і оцінює відстань між точкою B на протилежному березі, на яку вказує палець, і точкою A. Цю відстань множить на 10 і отримує наближене значення відстані до точки A, тобто ширини річки. Обґрунтуйте такий спосіб вимірювання відстані.

2. Знайдіть число підмножин множини





~ - 17 - ~

3. Доведіть, що для довільних дійсних чисел a a₁, ₂,...,a_n;

1, 2,..., _n

b b b виконується нерівність

2

2 2

1 1 1

,

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

   

 





 

та дослідіть необхідні і достатні умови, за яких у ній досягається рівність.

4. Доведіть нерівність

 

2

2

1 2 1 3 2 3

1 1

2 2 2 2 ,

n n

k k

k k

a n a a a a a a a

 

        

   







де a a₁, ₂,...,a_nR, n 3. В якому випадку досягається рівність?

5. Відомо, що ac b, c c, 0. Доведіть, що

2 2 2 2

ab.

a c b c

    c

6. Дослідіть, для яких натуральних показників k сума 1^k 2^k  ... n^k ділиться на 1 2 ...  n для всіх натуральних .n

7. Для кожного простого числа p знайдіть усі натуральні n такі, що



 

  

8. Нехай ,m nнатуральні числа. Доведіть наступні твердження:

а). Якщо двочлен xⁿ 1 ділиться на двочлен x^m 1, то n ділиться на .m

б). Якщо двочлен xⁿ 1 ділиться на двочлен x^m 1, то ⁿ m  непарне число.

9. Доведіть, що існує натуральне число, яке саме є точним квадратом і може бути подане як сума квадратів двох, трьох, чотирьох, п’яти, шести та семи різних натуральних чисел. Чи може число з такими властивостями бути меншим за 2010?

10. Послідовність Фібоначчі

 

1 2 1, _n 1 _{n n} 1, 2.

F  F  F _ F F _ n 

Доведіть, що F F_n  _n1F_n2 не може бути точним квадратом при жодному значенні n.

~ - 18 - ~

11. На координатній площині зобразіть множину всіх тих точок

 









12. Дослідіть кількість дійсних коренів рівняння







x x  x  a

в залежності від значення параметра aR. Яку максимальну кількість цілих коренів може мати таке рівняння?

13. Знайдіть кількість розв’язків рівняння

 

 

 

 

 

14. На площині зображено трикутник ABC і коло , яке проходить через вершину C, середини сторін AC та BC і точку перетину медіан трикутника ABC. На колі  відзначена точка K така, що AKB  90 . Доведіть, що дотична до кола  у точці K проходить через середину сторони AB, і проведіть її, користуючись лише лінійкою.

15. Всередині трикутника ABC знайдіть точку G, для якої середнє геометричне відстаней до сторін трикутника набуває максимального значення.

16. Тура відвідує кожну клітинку шахової дошки рівно один раз і повертається на початкове поле. За один хід вона переходить на сусідню клітинку по горизонталі або по вертикалі. Тобто маршрут тури замкнений і є неопуклим многокутником без самоперетинів.

Знайдіть площу цього многокутника, якщо площа однієї клітинки дорівнює 1, а маршрут тури проходить через центри клітинок.

17. На сторонах трикутника ABC зовнішнім чином побудовані правильні трикутники ABC₁, BCA₁, CAB₁. Доведіть, що точки перетину медіан трикутників ABC та A B C_{1 1 1} збігаються.

18. Плоскі кути при вершині трикутної піраміди прямі.

Дослідіть взаємозв’язок між площами граней цієї піраміди.

19. Маємо 7 словосполучень мовою сеймат (одна з 800 мов у Папуа-Новій Гвінеї) та їх переклад у довільному порядку: {tehu ing, huhua seilon, tel seilon, toluhu ing, toluok sinen, tok sinen, huok

~ - 19 - ~

sinen}, {три собаки, один будинок, дві собаки, один собака, дві людини, одна людина, три будинки}.

У першому стовпчику виконані дії з числами, у другому – ті ж дії у тому ж порядку, записані словами:

...   2 ...

3 31 93  …  … = seilon hinalo huopanim toluhu;

... ... 17  

... ...   23

... 60 ...  

Заповніть пропуски та опишіть систему числівників мовою сеймат.

20. Грають двоє. Перший називає цифру від 2 до 9. Другий множить її на довільну цифру від 2 до 9. Потім перший множить результат на довільну цифру від 2 до 9 і т.д. Виграє той, хто вперше отримає добуток, більший за: а) 2010; б) задане число C. Хто виграє при правильній грі: перший гравець чи другий?

2011 рік

Сьомий обласний турнір юних математиків

1. Дослідіть, якого найменшого значення може набувати вираз

2 2 2

1024

2

a b c

a  b  c  для натуральних чисел a b c, , , та знайдіть усі трійки таких чисел, для яких воно набувається.

2. Доведіть, що при n 1, 2, 3 для довільних наборів дійсних чисел: a a₁, ₂,...,a_n; b b₁, ₂,...,b_n; с с₁, ,...,₂ с_n виконується нерівність

3

4 2 4 2 4 2

1 1 1 1 1 1 1

1 .

8

n n n n n n n

k k k k k k k k k

k k k k k k k

a b с a b b c c a

      

         

     





 

 

 

3. Послідовність

 





2 ?

a a  am

~ - 20 - ~

4. Доведіть, що для кожного натурального числа n 2 існує таке натуральне число m, квадрат якого можна подати у вигляді суми квадратів двох, трьох, … , n різних натуральних чисел.

5. Дослідіть, для яких натуральних чисел n 2 існує таке натуральне число m, яке можна подати у вигляді суми кубів двох, трьох, … , n натуральних чисел, не обов’язково різних.

6. Доведіть, що для кожного натурального числа n 3 існує таке натуральне число m, куб якого можна подати у вигляді суми кубів n різних натуральних чисел.

7. Для нерівних додатних чисел ,x y доведіть нерівність

  



8 2 1

2xy

x y x y

 

 

та дослідіть, для яких пар





8. Знайдіть усі пари додатних чисел , ,x y для яких виконується нерівність

  



18 2 1

x y xy .

x y x y

 

  

9. Дослідіть, чи існують такі додатні числа x y, , для яких виконується нерівність

  



16 4 1

3x y 10x y 3xy .

x y x y

 

 

 

10. Доведіть, що існує така трійка натуральних чисел , , ,a b c що кожне з чисел a b c, abbcca, a² b² c² та abc є точним квадратом.

11. Позначимо через

 

 

   

 

1 9 1 1

, , .

10  x 10 x 10 x  10

12. Знайдіть усі такі функції f R: R, для яких для всіх дійсних значень x y, виконується рівність ^f



 



~ - 21 - ~

13. Дослідіть, чи існують такі функції f R: R, відмінні від

 

f x  x для яких для всіх дійсних значеннях x y, виконується рівність ^f





  



14. Розв’яжіть систему рівнянь:

2 2 2

3 3 3

, , .

3 3 3

x y y z z x

x y z

x y y z z x

     

  

15. Перевірте, чи для кожного натурального n5 суми квадратів коефіцієнтів многочленів ^P2n

 





  



2_n 3 7 2 ,ⁿ

Q x  x  x записаних у стандартному вигляді

2 2 1 2

2_n ⁿ 2_n 1 ⁿ ... 2 1 0,

a x a _ x ^  a x a xa співпадають.

16. Дослідіть, як за розкладами натуральних чисел m та n у двійковій системі числення визначити, чи є біноміальний коефіцієнт





! !

m n

C n

m n m

  парним числом.

17. Проаналізуйте умови (необхідні, достатні, або необхідні і достатні), при яких клітчасті прямокутники розмірами m n можна розрізати по лініях сітки на фігурки, кожна з яких є або квадратом розміру 2 2, або має вигляд у довільній орієнтації.

18. Вісім кіл радіуса r розташовані послідовно одне за одним вздовж катетів прямокутного трикутника так, що кожне наступне дотикається до попереднього. При цьому до одного катета дотикаються 5 кіл, а до іншого – 4 (одне з кіл, розташоване у вершині прямого кута, дотикається до обох катетів). Крім того, крайні кола дотикаються ще й до гіпотенузи трикутника. Знайдіть радіус кола, вписаного у цей трикутник.

19. Дослідіть питання щодо найбільшої кількості сторін многокутників, які можна отримати у перерізі площиною кожного із правильних многогранників.

20. Коло ₀ радіуса R₀ дотикається до прямої l у точці A. Розглядаються всілякі кола  радіуса R R₀, які дотикаються до прямої l та мають з колом ₀ дві різні спільні точки B та C, причому