АНАЛІЗ ЧАСОВИХ РЯДІВ Побудова VAR і VECM моделей з використанням пакета E.Views 6.0
Частина друга
Практичний посібник для роботи в комп’ютерному класі
Київ 2013
Це видання – друга частина навчального посібника «Аналіз часових ря- дів» – має на меті дати детальні інструктивні матеріали для самостійної прак- тичної побудови складніших моделей часових рядів, аніж моделі ARIMA та GARCH, про які йшлося в першій частині. Розглянуто моделі системного ана- лізу, до яких зокрема належать вектор-авторегресійні (VAR) моделі та век- торні моделі з механізмом корегування помилки (VECM). Основний наголос зроблено на особливостях їхньої побудови для вирішення конкретних прак- тичних проблем за допомогою пакета E.Views 6.0, а також на ілюстрації їх застосування для аналізу та прогнозування економічних та фінансових про- цесів і взаємозв’яз ків між ними. Оскільки методологія та алгоритми побудо- ви вектор-авто регресійних моделей залишаються стандартними, то цей по- сібник можна використовувати як довідник і під час роботи з іншими пакета- ми прикладних програм. Усі етапи побудови та прогнозування за допомогою VAR та VECM моделей проілюстровано рисунками, графіками, таблицями.
До кожної теми також додано ситуативні вправи з розв’язками та завдання для самостійного опрацювання. Наведено список рекомендованої літератури.
Навчальний посібник розраховано на студентів економічних спеціаль- ностей програм бакалаврата та магістратури, а також аспірантів, викладачів, фахівців, усіх, хто прагне оволодіти методами побудови та практичної реалі- зації VAR та VECМ моделей та їх застосування для прогнозу та аналізу шоків на основі імпульсних функцій відгуку та декомпозиції дисперсій.
Ре ц е н з е н т и:
Ільчук В. П., доктор економічних наук, професор, завідувач кафедри фі- нансів Чернігівського державного технологічного університету Камінський А. Б., доктор економічних наук, професор кафедри економіч-
ної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка
Ухвалено до друку Вченою радою НаУКМА (протокол № 7 від 19 вересня 2013 року)
© І. Г. Лук’яненко, В. М. Жук, 2013 © Д. Л. Виговський, обкладинка, 2013
ISBN © НаУКМА, 2013
Тема 3. Вектор-авторегресійні (VAR) моделі: практика побудови із використанням програмного пакета E.Views 6.0. Детальні
інструкції побудови VAR моделі на основі реальних даних ...5
Вступ ...5
3.1. В яких випадках доцільно використовувати VAR моделі на практиці...6
3.2. Підготовка та організація даних для побудови VAR моделей ...9
3.3. Специфікація VAR моделі ... 11
3.3.1. Визначення оптимальної кількості лагів для включення у VAR модель ... 11
3.3.2. Ідентифікація ендогенних та екзогенних змінних VAR моделі ... 16
3.4. Остаточне оцінювання VAR моделі та побудова імпульсних функцій відгуку і декомпозиції дисперсій ... 18
3.4.1. Оцінка невідомих параметрів VAR моделі ... 18
3.4.2. Побудова та аналіз імпульсних функцій відгуків ... 19
3.4.3. Побудова та аналіз функції декомпозиції дисперсій ... 24
3.5. Прогнозування за допомогою VAR моделей ... 27
Завдання, творчі роботи, ситуаційні вправи до теми 3 ... 35
Завдання для самоперевірки 1 ... 35
Завдання для самоперевірки 2 ... 37
Творча робота 1 ... 47
Творча робота 2 ... 48
Творча робота 3 ... 49
Теоретичний кейс 1 ... 52
Теоретичний кейс 2 ... 53
Практичний кейс 1 ... 55
Додатки до теми 3... 64
Додаток 3_А. Статистичні дані перших різниць цінових індексів споживання розвинутих країн світу та загального індексу промислової продукції за період лютий 1980–лютий 2010 ... 64
Додаток 3_Б. Значення деяких функцій декомпозиції дисперсій оціненої в інструктивному матеріалі VAR моделі ... 68
Додаток 3_В. Статистичні дані для виконання завдання 2 ... 73
Додаток 3_Г. Текст програми для обробки великих масивів статистичних даних при побудові моделей часових рядів ... 74
Додаток 3_Д. Статистичні дані для виконання творчих робіт ... 78
Тема 4. Векторні моделі корегування помилки (VECM): практика побудови із використанням програмного пакета E.Views 6.0.
Детальні інструкції побудови VECM моделей на основі
реальних даних ... 81
Вступ ... 81
4.1. Підготовка та організація даних для побудови VECM моделей ... 82
4.1.1. Визначення порядку інтеграції часових рядів ... 82
4.1.2. Перевірка часових рядів на наявність коінтеграційного зв’язку ... 83
4.2. Ідентифікація та оцінювання VECM моделі ... 86
4.3. Побудова та аналіз імпульсних функцій відгуків на основі VECM ... 87
4.4. Побудова та аналіз декомпозиції дисперсій ... 88
4.5. Прогнозування за допомогою VECM моделей ... 89
Завдання, творчі роботи, ситуаційні вправи до теми 4 ... 92
Завдання для самоперевірки 1 ... 92
Завдання для самоперевірки 2 ... 94
Творча робота 1 ... 107
Творча робота 2 ... 108
Творча робота 3 ... 109
Теоретичний кейс 1 ... 112
Практичний кейс 1 ... 114
Додатки до теми 4... 139
Додаток 4_А. Вхідні квартальні дані ВВП, урядових видатків та цін на сталь для побудови та аналізу векторної моделі корегування помилки ... 139
Додаток 4_Б. Статистичні дані для виконання завдання 2 ... 142
Додаток 4_В. Вхідні дані для побудови моделі корегування помилки для практичного кейсу 1 ... 143
Пам’ятки до тем 3 і 4 ... 147
Пам’ятка 1. Вектор-авторегресійні моделі в структурній та приведеній формі. Основні відмінності між ними ... 147
Пам’ятка 2. Стабільність та стаціонарність VAR (VECM) моделей ... 151
Пам’ятка 3. Поняття функції імпульсних відгуків ... 155
Пам’ятка 4. Декомпозиція дисперсій у VAR (VECM) моделюванні ... 161
Пам’ятка 5. Характеристичні корені, характеристичні рівняння та ранг матриці (допоміжний матеріал з лінійної алгебри)... 164
Пам’ятка 6. Понятття коінтеграції часових рядів ... 167
Пам’ятка 7. Поняття про найпростіші моделі корегування помилки ... 169
Пам’ятка 8. Коінтеграція та ранг матриці... 170
Література до тем 3–4 ... 172
побудови із використанням програмного пакета E.Views 6.0. Детальні інструкції
побудови VAR моделі на основі реальних даних
Вступ
Основні етапи аналізу даних та побудови VAR моделей на прак- тиці з використанням пакета E.Views 6.0 проілюстровано на при- кладі побудови VAR моделі для аналізу взаємозв’язку цінових ін- дексів споживання між розвинутими країнами світу (зокрема Бельгією (скорочене позначення – BEG); Францією (FR); Італією (IT); Нідерландами (NETH); Фінляндією (FIN); Швецією (SW);
Британією (UK); Норвегією (NOR); Швейцарією (SWZ); Японією (JAP)) та загального індексу промислової продукції розвинених країн як визначника глобальних економічних циклів (IPADV).
Реальні квартальні дані, які використовуються для побудови цієї моделі, подано в додатку 3_A (таблиця A1).
Зауважимо, що наведені інструкції можна використати як для побудови реальних VAR моделей на практиці, так і для виконання домашніх завдань та творчих робіт на комп’ютері з тематики VAR моделювання. Особливості та тонкощі моделювання на кожному етапі прокоментовано та проілюстровано за допомогою програм- ного пакета E.Views 6.0.
Зауважимо, що навіть у межах одного програмного пакета од- накові операції можна здійснити кількома способами, лише один або декілька з яких описані у наведеному інструктивному матеріа- лі. Це відкриває простір для самостійної творчості, яка в опану- ванні будь-якої справи, в тому числі економетрики, заохочується.
Нагадаємо, що моделювання – не тільки наука, а й мистецтво, яке залежить від розуміння проблеми, знань, досвіду та інтуїції. Твор- чих Вам успіхів у побудові та застосуванні на практиці VAR моде- лей для вирішення та аналізу важливих теоретичних та практич- них фінансово-економічних проблем сьогодення.
Тема 3
3.1. В яких випадках доцільно використовувати VAR моделі на практиці
Моделі багатьох змінних (multivariate models), до яких нале- жать і VAR моделі, дають змогу описати взаємний вплив економіч- них та фінансових показників. Існують різні класи як атеоретич- них, так і структурних макромоделей багатьох змінних, ранжуван- ня яких у достатньо узагальненому вигляді за ступенем теоретичної обґрунтованості можна проілюструвати діаграмою, наведеною на рис. 3.1, з урахуванням таких позначень: DSGE – динамічні стохас- тичні моделі загальної рівноваги; IDSGE – неповні DSGE моделі (incomplete DSGE); QPM – квартальні проекційні моделі (quarterly projection model); VAR – вектор-авторегресійні моделі, гібрідні моделі, такі, що об’єднують частково властивості динамічно- стохастичних моделей та VAR моделей або моделей корегування помилки (ECM, Error correction model).
Рис. 3.1. Ранжування макромоделей за ступенем теоретичної обґрунтованості
Динамічні стохастичні моделі загальної рівноваги (DSGE, dynamic stochastic general equilibrium models) мають найвищий ступінь теоретичної обґрунтованості. Зауважимо, що аналогічний ступінь теоретичної обґрунтованості мають і симультативні сис- теми рівнянь, які в цьому випадку ми не розглядаємо (докладну інформацію про симультативні системи рівнянь див. у підручнику
Гібридні моделі Рівень
теоретичної повноти
IDSGE (QPM)
VAR
Рівень емпіричної повноти DSGЕ
І. Г. Лук’яненко, Ю. О. Городніченка «Сучасні економетричні мето- ди в фінансах» (К.: Літера, 2003. – 348 с.). Шоки (збурення) у такого типу моделей мають визначену природу, наприклад, шоки техно- логічні, політичні тощо. Оцінені значення параметрів динамічних стохастичних моделей загальної рівноваги дають змогу підтвер- дити або спростувати теоретичні уявлення про певні економічні процеси відповідно до наявних наукових концепцій про взаємозв’язки. Недоліком таких моделей є обмежена можливість точної оцінки невідомих параметрів (яка здійснюється, як прави- ло, шляхом калібрування), і, відповідно, точного відтворення ди- наміки економічних змінних. Однак слід зазначити, що останнім часом для оцінювання невідомих параметрів цього класу моделей дедалі частіше застосовують методи баєвської економетрики, що значно підвищує точність розрахунків.
Найменший рівень теоретичної обґрунтованості мають VAR моделі (вектор-авторегресійні), а також гібридні моделі (у тому числі моделі корегування помилки, ЕСМ). VAR (vector autoregres- sive, вектор-авторегресійні) моделі є розширенням концепції ARIMA моделювання окремого часового ряду. Термін «вектор»
у цьому випадку означає, що моделюються одночасно два або біль- ше часових ряди. Термін «авторегресійні» означає включення ла- гових значень залежних змінних у праву частину кожного окремо- го рівняння системи.
Загалом моделі цього типу належать до атеоретичних моде- лей, тобто базуються не на економічній теорії, а на відтворенні динаміки часових рядів, так званій довгостроковій пам’яті ряду даних. Принцип «нехай дані пояснюють самі себе» є основою VAR моделювання. На жаль, такий підхід не залишає багато мож- ливостей для економічного аналізу, тому VAR моделі зазвичай застосовують для прогнозування, хоча результати прогнозу до- повнюють аналізом імпульсних функцій відгуку та декомпозиції дисперсій.
Від гібридних моделей VAR моделі відрізняються тим, що да- ють змогу моделювати лише короткострокову динаміку групи по- казників, натомість гібридні явно чи неявно відображають як дов- гостроковий зв’язок між змінними, так і короткострокову динамі- ку затухання шоків.
VAR/SVAR моделі є, по суті, відображенням взаємозв’язку між авторегресійними процесами для випадку багатьох змінних.
У структурній формі (SVAR – structure vector avtoregression) ці мо- делі здатні узагальнювати передачу збурень у часі між окремими показниками, секторами економіки тощо. Залежно від способу оцінки невідомих параметрів крім класичних VAR моделей виріз- няють також BVAR моделі (Bayesian VAR, баєвські VAR моделі), які мають однакові принципи побудови з класичною векторною авторегресією, але оцінюються методами баєвської економетрики і вирізняються найвищим серед наявних типів моделей багатьох змінних рівнем емпіричної повноти.
VAR моделі сьогодні широко використовують на практиці для прогнозування та аналізу динамічної поведінки як економічних сис- тем загалом, так і окремих секторів, а також взаємопов’язаних груп показників у багатьох сферах економічної та фінансової діяльності.
Наприклад, Банк Великої Британії у своєму пакеті прогнозних моде- лей використовує структурну подвійно-диферен ційовану VAR мо- дель (тобто таку, в якій усі ендогенні змінні представлені у формі перших різниць логарифмів), що дає змогу аналізувати ефекти структурних змін та отримувати короткострокові прогнози. Націо- нальний банк України використовує гібрідну динамічно-стохастичну модель та структурну VAR (ECM) для аналізу ефективності грошово- кредитної політики, крім того, цей клас моделей широко застосову- ють під час аналізу ефективності трансмісійних каналів тощо.
Цей інструктивний матеріал ілюструє основні етапи побудови найпростішого варіанта VAR моделей без обмежень на окремі ко- ефіцієнти, із ідентичною лаговою структурою для всіх рівнянь системи з використанням пакета E.Views 6.0. Зауважимо, що неві- домі параметри такого класу VAR моделей, які ще називають VAR моделями в приведеній (скороченій) формі, без проблем можна оцінити методом найменших квадратів, якщо кількість лагових змінних у кожному рівнянні системи однакова. Якщо кількість ла- гів у різних рівняннях системи різна, то таку систему не можна оцінити МНК, як правило, в таких випадках VAR моделі оцінюють методом уявно непов’язаної регресії (seemingly unrelated regres- sions, SUR), або іншими методами, які є також доступними в бага- тьох економетричних пакетах прикладних програм.
3.2. Підготовка та організація даних для побудови VAR моделей
Векторні авторегресійні моделі можна застосовувати тільки для стаціонарних часових рядів. Якщо показники, що їх досліджу- ють, не є стаціонарними процесами, то їх необхідно звести до ста- ціонарних оператором різниць. Зауважимо, що, як правило, для фінансових часових рядів застосування операторів перших та дру- гих різниць є достатнім для зведення ряду до стаціонарного. Мож- на також застосувати оператор різниць до значень логарифмів часового ряду, що також дає змогу значно зменшувати порядок ін- теграції. Умовно такі дії в пакеті E.Views здійснюються за допомо- гою вбудованих функцій, наприклад: d(ser), d(ser, 2), dlog(ser), dlog(ser, 2), де ser – стандартне позначення часового ряду.
У разі, якщо частина показників є стаціонарною в рівнях, а час- тина має вищий порядок інтеграції, слід переконатися, що модель не містить одночасно чистих стаціонарних і тренд-стаціонарних змінних, адже це може негативно вплинути на якість оцінок пара- метрів. Тренд-стаціонарний ряд у такому випадку слід перетворити оператором перших різниць на чистий стаціонарний процес (ряд).
Також зазначимо, що існує можливість включати в модель ек- зогенні змінні, які можна додавати у кожне з окремих рівнянь VAR моделі. Детальнішу інформацію про розподіл на ендогенні та ек- зогенні змінні VAR моделі наведено у пункті 3.3.2.
Проілюструємо побудову VAR моделі на прикладі взаємозв’язку цінових індексів споживання між розвинутими країнами світу (зо- крема Бельгією (BEG), Францією (FR), Італією (IT), Нідерландами (NETH), Фінляндією (FIN), Швецією (SW), Британією (UK), Нор- вегією (NOR), Швейцарією (SWZ), Японією (JAP)) та індексу про- мислової продукції розвинених країн як визначника глобальних економічних циклів (IPADV).
Метою побудови такої моделі є визначення взаємовпливу змін економічного розвитку європейських країн у короткостроковій та середньостроковій перспективі. Зауважимо, що в нашому ілю- стративному прикладі як агреговані індикатори економічного розвитку обрано цінові індекси споживання. Для розрахунків ви- користано квартальні дані зазначених вище показників.
Для побудови моделі насамперед потрібно перевірити всі часо- ві ряди на стаціонарність (зауважимо, що попередньо їх було об’єднано в групу з ім’ям DATA).
Таблиця 3.1. Результати перевірки групи даних на стаціонарність за тес- том Дікі–Фулера
Необхідно їх відкрити як групу і виконати тест Дікі–Фулера (або інший) для перевірки одночасно всієї групи на стаціонарність послідовністю команд: open DATA/View/Unit Root Test/. У вікні, що відкриється, в опції Test Type обрати Individual Root-Im, Pesaran, Shin-W stat та натиснути OK.
Результати виконання тесту наведено в таблиці 3.1. Зауважимо, що на стаціонарність перевіряли перші різниці логарифмів описа- них вище часових рядів, значення яких наведено в додатку 3_A (таблиця А1). Як можна побачити з результатів тесту (див. табли- цю 3.1), для двох країн (Італії та Британії) ряд перших різниць ло- гарифмів є нестаціонарним. Оскільки не бажано при побудові мо- делі включати змінні в різних типах різниць (хоча і можливо), то краще або вилучити нестаціонарні змінні в перших різницях із множини показників, які розглядаємо, або перетворити всі змінні на форму других різниць логарифмів. У цьому випадку, для спро- щення подальших викладок зазначені вище країни було вилучено з подальшого аналізу. Зауважимо, що на практиці такі дії потребу- ють детального обґрунтування. Звертаємо увагу, що для економії місця з таблиці А1 у додатку 3_А вилучено інформацію щодо ціно- вих індексів споживання в Італії та Британії, які в подальшому не використовуються для побудови VAR моделі.
Зауважимо, що на стаціонарність можна перевіряти і кожний часовий ряд окремо.
3.3. Специфікація VAR моделі
3.3.1. Визначення оптимальної кількості лагів для включення у VAR модель
Для того щоб визначити оптимальну структуру лагів для VAR моделі, можна використати два найпоширеніших та доступних у версії пакета E.Views 6.0 тести: тест на максимальний лаг і тест на виключення лагів. Для їх застосування необхідно на основі групи змінних, створених раніше для тесту на стаціонарність (група DATA для цього прикладу, див. додаток 3_А, таблицю А1), побуду- вати модель векторної авторегресії послідовністю команд:
Proc>Make Vector Autoregression. Вікно цієї процедури відобра- жено на рис. 3.2.
У діалоговому вікні, що відкривається для специфікації VAR моделі, спочатку основні параметри приймемо за замовчуванням (їх потім можна буде змінити). Для автоматичного вибору опти-
мальної кількості лагів, що їх необхідно включити в модель, на- тиснемо OK та в новому вікні об’єкта VAR, що відкриється, обере- мо послідовно опцію: View>Lag structure, для якої доступна певна послідовність підопцій та тестів (див. рис. 3.3), зокрема:
Lag Exclusion Tests – тест на виключення лагів;
Lag Length Criteria – тест на максимальну довжину лагів.
Рис. 3.3. Вікно для виконання тестів на виключення лагів та на максимальну довжину лагів (Lag Exclusion Tests та Lag Length Criteria)
Рис. 3.2. Вікно для специфікації VAR моделі
На першому етапі застосуємо тест на максимальну довжину ла- гів (опція: Lag Length Criteria). Цей тест починає оцінку з певної максимальної кількості лагів моделі, а далі зменшує її. Задамо мак- симальний лаг 8, що відповідає двом рокам в умовах прикладу, який розглядаємо. Оптимальна довжина лагу в цьому тесті визна- чається одночасно за п’ятьма поширеними інформаційними кри- теріями. Результати виконання тесту наведено в таблиці 3.2.
Таблиця 3.2. Результати виконання тесту на максимальну довжину лага VAR моделі
Як можна побачити з результатів розрахунків за різними ін- формаційними критеріями, зокрема: відношенням логарифмів функцій вірогідності (LR), фінальною прогнозною похибкою (FPE), критерієм Акайке (AIC), критерієм Шварца (SC) і критерієм Ханна–Квінна (HQ), отримано різні значення оптимальної макси- мальної кількості лагів (вони позначені зірочками) для включення у VAR модель. За двома з них (критеріями FPE та LR) оптимальною кількістю лагів для включення в модель є 4. Інші інформаційні критерії визначають 2 та 3 лаги, а AIC критерій, який вважають найменш строгим, визначає 8 лагів. Відповідно, обираємо най-
більш частотну кількість лагів, що дорівнює чотирьом для базової моделі як оптимальній кількості.
Переоцінемо VAR модель зі включенням чотирьох лагів, тобто оцінимо VAR(4) модель. Для оцінювання невідомих параметрів моделі необхідно обрати команду Estimate об’єкта VAR, вказавши у вікні, що відкриється (див. рис. 3.4), в опції Lag Intervals for Endogenous : 1 4.
Рис. 3.4. Вікно специфікації VAR моделі з чотирма лагами
Зауважимо, що для оцінки VAR моделі у вікні має бути обрано також Unrestricted VAR (VAR модель без обмежень на параме- три), а в опції екзогенних змінних (Exogenous Variables) необхід- но вказати перетин (оскільки на першому етапі ми не включаємо додаткові екзогенні змінні у VAR модель) та натиснути OK.
Після виконання розрахунків додатково протестуємо VAR(4) модель на можливість виключення певних лагів. Для цього вико-
наємо послідовність команд: View>Lag Structure> Lag Exclusion Tests. Результати виконання тесту наведено в таблиці 3.3.
Таблиця 3.3. Результати виконання тесту на можливість виключення ла- гів із VAR моделі
Як можна побачити з таблиці 3.3, третій лаг є значущим лише для чотирьох показників (незначущі лаги та відповідні їм p-value (ймовірності) в таблиці виділено рамками). Відповідно, оцінимо VAR модель без третього лага, задавши у вікні специфікації VAR моделі в опції Lag Intervals for Endogenous: 1 2 4 4 (див. рис. 3.5).
Рис. 3.5. Вікно специфікації VAR моделі з виключеним третім лагом
Як бачимо на рис. 3.5, в опції Lag Intervals for Endogenous вказано два інтервали: з першого по другий лаг і з четвертого по четвертий.
Зауважимо, що VAR модель з виключеним третім лагом має і найкращі значення для критеріїв Акайке і Шварца серед інших розглянутих специфікацій моделі.
3.3.2. Ідентифікація ендогенних та екзогенних змінних VAR моделі
При побудові VAR моделі за замовчуванням вважають, що всі змінні є ендогенними. Для того щоб виявити, які змінні все ж таки можуть бути екзогенними, можна використати тест на виключен- ня лагів. Наприклад, з таблиці 3.3 можна побачити, що всі коефіці- єнти при лагових змінних цінового індексу споживання для Бель- гії (DLOG(BEG)) є статистично незначущими, отже, їх можна ви- ключити з моделі, тож імовірно, що цей показник є екзогенним.
Також деякі показники перевіряють на ймовірну екзогенність за допомогою тесту Грейнджера. Для його виконання необхідно послідовно обрати такі команди: View>Lag Structure> Grander Causality/Block Exogeneity Tests. Результати розрахунків за цим тестом наведено в таблиці 3.4.
Наприклад, у нашому випадку тест показує ймовірну екзоген- ність цінових індексів споживання для Бельгії (DLOG(BEG)) та Ні- дерландів (DLOG(NETH)); про це свідчить значення ймовірності для відповідних коефіцієнтів моделі (p-value) більше за 0.1 в остан- ньому рядку таблиці 3.4.
Зауважимо, що отримані результати є дещо несподіваними, адже логічно було б припустити, що екзогенною має бути змінна індексу промислової продукції розвинених країн як визначника глобальних економічних циклів (IPADV).
Відповідно до проведеного аналізу, результатів діагностики моде- лі, емпіричних розрахунків, а також логічних висновків та припущень перенесемо три змінні (цінові індекси споживання для Бельгії та Ні- дерландів, індекс промислової продукції розвинених країн (IPADV)) у блок екзогенних змінних і переоцінимо VAR модель. Вікно для пе- реоцінки моделі в новій специфікації відображено на рис. 3.6.
Таблиця 3.4. Результати виконання тесту Grander Causality
Рис. 3.6. Вікно для переоцінки VAR моделі в новій специфікації з екзогенними змінними
Зауважимо, що індекс промислової продукції розвинених країн як визначник глобальних економічних циклів (змінна перших різ- ниць логарифмів: DLOG(IPADV)) було введено в модель при пере- оцінці як екзогенну змінну для зручності подальшої інтерпретації, що можливо в рамках ілюстративного прикладу. Насправді, у разі включення її у ендогенні змінні інформаційні критерії будуть дещо кращими.
3.4. Остаточне оцінювання VAR моделі та побудова імпульсних функцій відгуку і декомпозиції дисперсій
3.4.1. Оцінка невідомих параметрів VAR моделіОцінка VAR моделі з виключеним третім лагом та трьома екзо- генними зміними відбувається шляхом задання відповідних опцій в об’єкті VAR, що зазначені на рис. 3.7, з наступним натисканням кнопки OK у наведеному вікні.
Рис. 3.7. Вікно остаточної специфікації VAR моделі
Як уже було раніше показано, лагові інтервали для ендогенних змінних вказуються у такий спосіб: [інт1поч інт1кін] [інт2поч інт2- кін] [інт3поч інт3кін] [інт4поч інт4кін], де інт1поч та інт1кін – пер- ший і останній лаг першого лагового інтервалу відповідно.
Опція Estimation Sample визначає період, на якому оцінюєть- ся модель.
3.4.2. Побудова та аналіз імпульсних функцій відгуків
Важливим інструментом аналізу чутливості показників VAR моделі до дії зовнішніх шоків є побудова імпульсних функцій від- гуків. Наприклад, необхідно дослідити, наскільки чутливою є еко- номіка Швейцарії до змін в економічному розвитку Франції як су- сідньої великої країни. Зауважимо, що в нашому ілюстративному прикладі в якості агрегованих індикаторів економічного розвитку обрано цінові індекси споживання.
Для розрахунку імпульсної функції відгуків у об’єкті оціненої VAR моделі необхідно обрати меню Impulse; натиснувши цю кноп- ку, отримаємо вікно для задання параметрів імпульсної функції відгуків, яке відображено на рис. 3.8:
Рис. 3.8. Вікно задання параметрів для імпульсної функції відгуків
Наприклад, ми хочемо дослідити, як шоки в ціновому індексі споживання, що відбуваються у Франції, впливають на індекси споживання Швейцарії (тобто імпульс відбувається у Франції, а відповідь – у Швейцарії) протягом 50 певних періодів (у нашому випадку кварталів). Відповідно в опцію Impulses вводимо змінну dlog(fr), а в опцію Responses – dlog(swz). Задаємо 50 періодів.
Оскільки у нас лише одна пара імпульс–відповідь, можемо обрати опцію: Multiple Graphs (графік попарного відображення). Та- кож можемо задати метод відображення інтервалів довіри для функції імпульсних відгуків. Для прикладу, розглянемо два варіан- ти – аналітичні і симульовані (за методом Монте-Карло) інтерва- ли довіри. Відповідно на рис. 3.9 відображено імпульсну функцію відгуку для випадку аналітично розрахованих інтервалів довіри, а на рис. 3.10 – імпульсну функцію відгуку з інтервалами довіри, отриманими за методом Монте-Карло.
Рис. 3.9. Імпульсна функція відгуку для випадку аналітично розрахованих інтервалів довіри
Як можна побачити на рис. 3.10, інтервали довіри, визначені на основі симуляції за методом Монте-Карло, наочно показують ве-
лику віддаленість у довгостроковому періоді, що свідчить про від- сутність довгострокового зв’язку між економіками країн (у цьому випадку – для Франції та Швейцарії).
Рис. 3.10. Імпульсна функція відгуку для випадку інтервалів довіри, розрахованих за методом Монте-Карло
Зауважимо, що при побудові наведених вище імпульсних функцій відгуків було використано звичайний підхід на основі декомпозиції Чолеського (теоретичні основи цього підходу опи- сано в навчальному посібнику «І. Г. Лук’яненко, Ю. О. Городні- ченка. Сучасні економетричні методи в фінансах», К.: Літера, 2003, 348 с.)
Якщо при розрахунку імпульсної функції базуватися на підході узагальненого визначення імпульсу, тобто обрати відповідну опцію: Узагальнене визначення імпульсу (Generalized Impulses), отримаємо графік, відображений на рис. 3.11.
Для визначення імпульсу в залишках у одне стандартне відхи- лення (відповідна опція: Residual – one std. Deviation) графік ім- пульсної функції відгуків наведено на рис. 3.12.
Рис. 3.11. Імпульсна функція відгуку, побудована на основі підходу уза- гальненого визначення імпульсу
Рис. 3.12. Імпульсна функція відгуку, побудована на основі імпульсу в залишках у одне стандартне відхилення
Зауважимо, що основним недоліком використання стандартної процедури декомпозиції Чолеського є залежність функції імпуль- сних відгуків від порядку послідовності представлення змінних у VAR моделі. Наприклад, якщо у моделі показник, що характеризує економіку Франції, поставити одразу після аналогічного показни- ка для Швейцарії, то ми отримаємо відсутність відгуку у першому періоді, що відображено на рис. 3.13.
Рис. 3.13. Імпульсна функція відгуку при застосуванні декомпозиції Чолеського зі зміненим порядком послідовності змінних у VAR моделі
Зауважимо також, що результати побудови та розрахунку ім- пульсної функції відгуків можно отримати не тільки у вигляді гра- фіків, а й аналітично, в табличному ви- гляді, де наведено кумулятивний ефект зміни показників VAR моделі у відповідь на шок (зміну) в одному з них, тобто від- повідні функції відгуків можна перегля- нути у формі таблиці. Для цього у вікні імпульсної функції (див. рис. 3.18) необ- хідно обрати підопцію Table, як показа- но на рис. 3.14.
Рис. 3.14. Задання таблич- ного перегляду функції
імпульсних відгуків
У таблиці 3.5 відображено розрахункові значення імпульсної функції для розглянутого вище випадку.
Таблиця 3.5. Табличне відображення результатів розрахунків імпульсної функції відгуків для розглянутого прикладу
3.4.3. Побудова та аналіз функції декомпозиції дисперсій Для побудови та аналізу декомпозиції дисперсій в об’єкті оці- неної VAR моделі слід послідовно обрати: View>Variance Decom- position, як показано на рис. 3.15.
Рис. 3.15. Вікно для аналізу декомпозиції дисперсій оціненої VAR моделі Після натискання на відповідну кнопку «Variance Decomposi- tions» у вікні, що відкриється (див. рис. 3.16), можна обрати опцію:
Combined graphs (комбіновані графіки) для компактного відо- браження графіків декомпозиції дисперсій для великої кількості змінних. Оберемо період оцінки зміни декомпозиції дисперсій –
50 періодів, звернувши увагу на порядок для декомпозиції Чолесь- кого. Вікно для задання специфікації декомпозиції дисперсій на- ведено на рис. 3.16.
Рис. 3.16. Вікно для специфікації декомпозиції дисперсій Графічне відображення результатів оцінки декомпозиції дис- персій для змінних VAR моделі протягом 50 періодів наведено на рис. 3.17.
Аналіз графіків, наведених на рис. 3.17, показує досить істотну залежність економічного розвитку Швейцарії і Швеції від інших країн. Крім того, можна зазначити, що для Швейцарії більшим є вплив Франції, а для Швеції – Фінляндії, обидва – близько 20 % загальної дисперсії. Аналогічно можна проводити аналіз для ін- ших країн. Слід зауважити, що для розрахунку декомпозиції дис- персій порядок декомпозиції, який задається в опції: Ordering of Cholesky (див. рис. 3.16), є критичним, що може бути проілюстро- вано при представленні результатів декомпозиції дисперсій у та- бличному вигляді, які наведено в додатку 3_Б (таблиця Б1). З ана- лізу таблиці можна зробити висновок, що оскільки в порядку де- композиції Швейцарія стоїть останньою, в першому періоді всі значення декомпозиції дисперсії для всіх країн є ненульовими.
Для Франції, яка є першою у порядку, значення для решти країн
Рис. 3.17. Графічне відображення декомпозиції дисперсій оціненої VAR моделі
у першому періоді є нульовими (через накладені обмеження на па- раметри, що мають місце за перетворення приведеної форми у структурну) тощо.
3.5. Прогнозування за допомогою VAR моделей
Для прогнозування на основі оціненої VAR моделі необхідно створити на її основі об’єкт моделі. Для цього послідовно в меню об’єкта оціненої VAR моделі слід виконати: Proc>Make Model (див. рис. 3.18):
Для здійснення прогно- зування у вікні, що відкри- ється, натиснути кнопку Solve. В наступному вікні, яке відображене на рис. 3.19, задати тип симуляції про- гнозних даних.
Рис. 3.19. Вікно для прогнозування на основі VAR моделі Рис. 3.18. Вікно для створення об’єкта
моделі для прогнозування
Як можна побачити на рис. 3.19, для проведення прогнозуван- ня обрано динамічну симуляцію детерміністичного типу, відповід- но до відмічених опцій у вікні прогнозу.
Період прогнозування (опція: Solution sample) можна задати відповідно до кількості ефективних спостережень (sample adjus- ted), які наведено у результатах попередньої оцінки VAR моделі (див. таблицю 3.5) і виділено рамочкою.
Таблиця 3.5. Заголовок результатів оцінювання VAR моделі з відображен- ням кількості ефективних спостережень
Зауважимо, що розраховані прогнозні значення зберігаються у вигляді часових рядів, які за шаблоном мають назву змінна_0 для сценарію Baseline. Їх можна переглядати окремо або згенерувати графік чи групу за допомогою команд, які можна обрати у вікні, що відкривається після виконання розрахунку прогнозу при виборі в меню вікна опції: Proc (див. рис. 3.20):
Рис. 3.20. Вікно для вибору представлення результатів прогнозування Make Group/Table: команда створення групи для зіставлен- ня фактичних і прогнозних значень показників (за умови ви-
браних опцій, які відображено в наведеному на рис. 3.21 вікні в рамочці):
Рис. 3.21. Відображення вибору опцій порівняння дійсних та прогнозних значень показників
Таким чином, за обрання цієї опції можна порівняти фактичні (дійсні) і розраховані (прогнозні) значення за сценарієм Baseline на основі симуляції побудованої VAR моделі. Для зручності аналі- зу в пакеті E.Views фактичні та розраховані (прогнозні) значення за кожним показником зібрані у вигляді таблиці, фрагмент якої ві- дображено в таблиці 3.6.
Аналогічно можна побудувати графіки зіставлення динамічно- го прогнозу та фактичних значень показників, які досліджуємо.
Результати такого порівняння в графічному вигляді наведено на рис. 3.22.
З аналізу графіків можна зробити висновок, що оскільки наш прогноз є довготривалим і динамічним, з часом прогнозовані зна- чення істотно відрізняються від історичних (фактичних) значень, особливо у випадку Японії. Відтак модель починає відтворювати довгостроковий усереднений тренд.
Таблиця 3.6. Результати попарного порівняння фактичних та прогнозних значень показників, розрахованих за базовим сценарієм (Baseline) на основі побудованої та оціненої VAR моделі
Припустимо, що ми маємо зробити прогноз на наступні два роки: з третього кварталу 2010 року до другого кварталу 2012 року.
Крім того, ми маємо вказати довірчі інтервали для нашого про- гнозу. Зауважимо, що детерміністичний розв’язок не дає змоги отримати прогноз на декілька наступних періодів (періодів упе- редження), тому необхідно розв’язати модель стохастичним мето- дом, відмітивши при цьому опцію: Bounds (для задання інтервалів довіри прогнозних значень). Крім того, у вікні процедури Solve, яке відображене на рис. 3.23, в опції Solution Sample вказуємо пе- ріод упередження (період для прогнозу).
Звичайно, необхідно мати прогнозні значення екзогенних змін- них на період упередження, які можна отримати, наприклад, за до- помогою побудови відповідних ARIMA моделей.
Рис. 3.22. Графічне відображення зіставлення фактичних та прогнозних значень показників, що входять у VAR модель
Для побудови графіка прогнозних значень з інтервалами дові- ри слід обрати опцію: Середнє та інтервали довіри (Mean &
Confi dence Bounds) (див. рис. 3.24).
Зауважимо, оскільки графіки будуємо лише за ендогенними змінними, то їхній перелік також потрібно вказати у вікні, відо- браженому на рис. 3.24. В результаті отримаємо графіки, наведені нижче на рис. 3.25.
Рис. 3.23. Вікно для специфікації отримання прогнозу на декілька кварталів уперед
Рис. 3.24. Вікно для графічного відображення прогнозних даних на де- кілька кварталів уперед
Рис. 3.25. Графічне відображення фактичних та прогнозних даних, розрахованих за VAR моделлю
Розраховані прогнозні значення відповідних показників та ін- тервали довіри для них наведено в таблиці 3.7.
Таблиця 3.7. Розраховані прогнозні значення на 4 квартали вперед та від- повідні їм інтервали довіри
Зауважимо, що аналіз результатів пронозування можна допо- внити розрахунком критеріїв прогнозної якості, аналізом того, на- скільки точно прогнозні дані відображають поворотні точки тощо.
Також можна генерувати різні сценарії з різними початковими припущеннями.
ТВОРЧІ РОБОТИ,
СИТУАЦІЙНІ ВПРАВИ ДО ТЕМИ 3
Завдання для самоперевірки 1. Самостійно побудуйте та проаналізуйте VAR моделі на практиці з використанням пакета E.Views 6.0 для аналізу взаємозв’язку цінових індексів споживання між розвинутими країнами світу (зокрема Бельгією – BEG, Фран- цією – FR, Нідерландами – NETH, Фінляндією – FIN, Швецією – SW, Норвегією – NOR, Швейцарією – SWZ, Японією – JAP) та за- гального індексу промислової продукції розвинених країн як ви- значника глобальних економічних циклів (IPADV).
Використовуючи значення цінових індексів для наведених вище країн (див. додаток 3_А до теми 3, таблиця А1) та надані ін- струкції, повторіть самостійно всі етапи побудови VAR моделі для цих часових рядів.
Для цього відповідно до інструкції:
а) створіть робочий файл у E.Views та імпортуйте або копіюй- те в нього дані;
б) проведіть первинний статистичний аналіз даних;
в) перевірте часові ряди на стаціонарність; визначте порядок інтеграції;
г) специфікуйте (ідентифікуйте) VAR модель для часових ря- дів, які досліджують, визначивши оптимальну кількість ла- гів у моделі;
ґ) побудуйте та проаналізуйте графіки імпульсних функцій відгуків;
д) побудуйте та проаналізуйте графіки декомпозиції дисперсій;
е) перевірте побудовану VAR модель на адекватність (стабільність);
є) за побудованою моделлю зробіть прогноз на наступні два роки – з третього кварталу 2010 року до другого кварталу 2012 року;
ж) побудуйте довірчі інтервали прогнозу та проаналізуйте про- гнозну якість розробленої VAR моделі;
з) зробіть висновки.
Дайте відповіді на такі запитання:
1. Які основні труднощі виникли під час виконання Вами цьо- го завдання?
2. Які тести Ви використовували для визначення оптимальної кількості лагів для первинного включення в модель? Які ви- сновки Ви можете зробити щодо їхньої ефективності? Чому результати різних тестів можуть давати різні результати?
Яким чином Ви обґрунтовували обрану Вами оптимальну кількість лагів для первинного включення в модель?
3. Чи всі етапи побудови та аналізу імпульсних функцій відгу- ків були для Вас зрозумілими?
4. Чи всі етапи побудови та аналізу декомпозиції дисперсій були для Вас зрозумілими?
5. Як за допомогою аналізу імпульсних функцій відгуків та де- композиції дисперсій можна зробити висновок про стабіль- ність моделі?
6. Як на практиці можна використовувати аналіз імпульсних функцій відгуків та декомпозиції дисперсій? Що він дає?
7. Яким чином Ви можете зробити висновок про адекватність побудованої VAR моделі?
8. За якими основними процедурами можна протестувати за- лишки моделі на білий шум?
9. Якими методами можна оцінити невідомі параметри VAR моделей?
10. Як розрахувати інтервали довіри для прогнозних значень за VAR моделлю в пакеті E.Views?
11. У чому, на Ваш погляд, полягає проблема оцінки прогнозної якості VAR моделей? Які основні критерії прогнозної якості слід використовувати?
12. Які основні труднощі виникли при розрахунку інтервалів до- віри для прогнозу? Для якого періоду упередження Ви б по- рекомендували використовувати оцінену Вами VAR модель?
13. Які основні висновки Ви можете зробити, підсумовуючи ви- конане Вами завдання?
