ABNORMAL WAVES IN WAVE FIELD WITH MODULATION INSTABILITY E.V. Belkin, A.V. Kirichok, V.M. Kuklin, A.V. Pryimak

© BelkinE.V., Kirichok A.V., Kuklin V.M., Pryimak A.V., 2014 East Eur. J. Phys. Vol.1 No.2 (2014) 4-39

PASC: 42.30.Lr, 47.35.Bb, 52.35.Mw

ABNORMAL WAVES IN WAVE FIELD WITH MODULATION INSTABILITY E.V. Belkin, A.V. Kirichok, V.M. Kuklin, A.V. Pryimak

V.N. Karazin Kharkiv National University 4 Svobody Sq., Kharkov 61022, Ukraine

e-mail: [email protected] Received April 23, 2014

The paper discusses the processes of modulation instability of large-amplitude waves. The behavior of wave field envelope intensity is described for the model, which is described by Lighthill equation, taking into account the absorption and external source. Another presented model describes the appearance of abnormal amplitude waves on ocean surface in conditions of existence of finite amplitude disturbances. It is discussed the results of simplified description based on a modified S-theory, which takes into account the interaction of spectrum modes; the wave vectors of modes are arranged symmetrically with respect to the wave vector of main wave of finite amplitude. The feature of modified S-theory is the ability to clearly distinguish the mechanisms of modulation instability and explain the nature of appearance of abnormal amplitude waves with short lifetime. It is also presented the results of calculations without the use of simplifications, that allow verify the approach based on S-theory. It has been shown that many of the characteristics of both descriptions are close enough for at least at initial stage of nonlinear instability regime. Achievable maximum amplitudes of modulation and individual waves are similar, as well as characteristic times of their appearance and their lifetimes. It is noted that the envelope of wave field at beginning of nonlinear regime of instability in the Lighthill model is almost three times exceed the average amplitude of waves. It is shown that frequency of appearance of abnormal waves in statistics (by the ensemble and time) is almost identical in both models of ocean excitement. At initial stage of nonlinear regime of instability it may cause the waves and bursts of envelope with very large amplitude significantly often than it would be expected from statistically justified estimates.

KEY WORDS: modulation instability, abnormal amplitude waves, S-theory, Lighthill equation

АНОМАЛЬНІ ХВИЛІ В МОДУЛЯЦІЙНО НЕСТІЙКОМУ ХВИЛЬОВОМУ ПОЛІ Є.В. Бєлкін, О.В. Кірічок, В.М. Куклін, О.В. Приймак

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна майдан Свободи, 4, Харків 61022, Україна

У роботі розглянуті процеси розвитку модуляційної нестійкості хвиль великої амплітуди. Обговорюється поведінка обвідної інтенсивного хвильового поля для моделі, яка описується рівнянням Лайтхілла з урахуванням поглинання і зовнішнього джерела. Представлена також подібна модель, яка описує появу хвиль аномальної амплітуди на поверхні океану в умовах існування хвилювання кінцевої амплітуди. Обговорюються результати спрощеного опису на основі модифікованої S-теорії, яка враховує взаємодію мод спектра, хвильові вектора яких симетрично розташовуються відносно хвильового вектора основної хвилі кінцевої амплітуди. Особливістю модифікованої S-теорії є можливість явно виділити механізми модуляційної нестійкості і пояснити природу виникнення хвиль аномальної амплітуди з малим часом життя. Представлені також результати розрахунків без використаних спрощень, що дозволило провести верифікацію наближення, заснованого на S-теорії. Показано, що багато характеристик обох описів виявляються досить близькі, принаймні, на початковій стадії нелінійного режиму нестійкості. Подібними виявляються також максимальні амплітуди модуляції і окремих хвиль, що досягаються, а також характерний час їх появи і час їхнього життя. Відзначається, що обвідна хвильового поля на початку нелінійного режиму нестійкості в моделі Лайтхілла майже в три рази перевершує середню амплітуду хвиль. Показано, що частоти появи аномальних хвиль в статистиці по ансамблю і за часом в обох моделях опису океанського хвилювання практично не відрізняються. На початковій стадії нелінійного режиму нестійкості можлива поява хвиль і сплесків обвідної з вельми великою амплітудою значно частіше, ніж це випливає з статистично обґрунтованих оцінок.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: модуляційна нестійкість, хвилі аномальної амплітуди, S-теорія, рівняння Лайтхілла АНОМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В МОДУЛЯЦИОННО НЕУСТОЙЧИВОМ ВОЛНОВОМ ПОЛЕ

Е.В. Белкин, А.В. Киричок, В.М. Куклин, А.В. Приймак Харьковский национальный университет имена В.Н. Каразина

пл. Свободы, 4, Харьков 61022, Украина

В работе рассмотрены процессы развития модуляционной неустойчивости волн большой амплитуды. Обсуждается поведение огибающей интенсивного волнового поля для модели, которая описывается уравнением Лайтхилла с учетом поглощения и внешнего источника. Представлена также подобная модель, которая описывает появление волн аномальной амплитуды на поверхности океана в условиях существования волнения конечной амплитуды. Обсуждаются результаты упрощенного описания на основе модифицированной S-теории, которая учитывает взаимодействие мод спектра, волновые вектора которых симметрично располагаются относительно волнового вектора основной волны конечной амплитуды.

Особенностью модифицированной S-теории является возможность явно выделить механизмы модуляционной неустойчивости и пояснить природу возникновения волн аномальной амплитуды с малым временем жизни. Представлены также результаты расчетов без использованных упрощений, что позволило провести верификацию приближения, основанного на S-теории. Показано, что многие характеристики обоих описаний оказываются достаточно близки, по крайней мере, на начальной стадии нелинейного режима неустойчивости. Подобными оказываются также достигаемые максимальные амплитуды как модуляции, так и отдельных волн, а также характерные времена их появления и времена их

жизни. Отмечается, что огибающая волнового поля в начале нелинейного режима неустойчивости в модели Лайтхилла почти в три раза превосходит среднюю амплитуду волн. Показано, что частоты появления аномальных волн в статистике по ансамблю и по времени в обеих моделях описания океанского волнения практически не отличаются. На начальной стадии нелинейного режима неустойчивости возможно появление волн и всплесков огибающей с весьма большой амплитудой значительно чаще, чем это следует из статистически обоснованных оценок.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: модуляционная неустойчивость, волны аномальной амплитуды, S-теория, уравнение Лайтхилла СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Системы уравнений, описывающие нестабильность волн большой амплитуды, распространяющихся в неравновесных средах и системах с кубической нелинейностью и конечным уровнем поглощения

1.1. Природа нестабильностей волн большой амплитуды

1.2. Развитие спектра возмущений вблизи порога неустойчивости волны конечной амплитуды в модели Лайтхилла

1.3. Модуляционая неустойчивость волны большой амплитуды в 1D модели Лайтхилла

1.4. Системы уравнений, описывающие модуляционную неустойчивость гравитационных волн на

поверхности воды

2. Численный анализ процессов модуляционной неустойчивости

2.1. Результаты расчетов процесса модуляции волны конечной амплитуды в модели Лайтхилла

2.2. Численное моделирование модуляционной неустойчивости гравитационных волн на поверхности воды

2.3. Применение моделей Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Модуляционные неустойчивости. Как известно [1-6], периодические волны конечной амплитуды в средах с наиболее распространенным видом локальной кубической нелинейности являются неустойчивыми с возбуждением двух боковых спектров вынужденных возмущений, соответственно с большей и меньшей длиной волны. Развитие такой неустойчивости приводит к амплитудной модуляции начальной волны. Это определило название этого типа неустойчивостей – модуляционные [2]. В неодномерных случаях кроме модуляционных неустойчивостей возможны и процессы самофокусировки [7].

Однако ниже уделим основное внимание именно модуляционным неустойчивостям. В условиях поглощения энергии возмущений в среде инкременты модуляционной неустойчивости уменьшаются и существует пороговая амплитуда начальной волны, при превышении которой неустойчивость развивается [1- 6]. Кроме того, подобные неустойчивости очень чувствительны к уширению спектра начального волнения и даже для сравнительно нешироких пакетов сильно ослабляются а также подавляются вследствие механизмов поглощения и трансформации колебаний [8,9]. Поэтому изучение модуляционной неустойчивости представляется полезным для выяснения характера уширения и пространственной модуляции практически монохроматических волн большой амплитуды в приборах электроники, где их групповые скорости невелики и соответственно значительны амплитуды поля; при распространении волн в волноводах с замедляющими структурами или с заполняющими их оптически плотными диэлектриками; при рассмотрении объемных и поверхностных волн в различных средах и в ряде других практически важных случаев.

Отметим, что для наблюдения модуляционной неустойчивости в поглощающей среде должен существовать источник энергии, который поддерживает основную волну или структуру. Этим источником энергии может быть внешний генератор или неравновесный процесс, способный генерировать достаточно узкую интенсивную спектральную линию излучения. Отметим, что именно узкая спектральная ширина излучения является необходимым условием его применения в современной высокочастотной электронике [10,11]; в диагностических методах изучения различных процессов как в земных условиях, так и в ионосфере; в лазерной физике и во множестве технических приложений. Высокая интенсивность излучения необходима для технической транспортировки СВЧ энергии вплоть до верхних слоев атмосферы [12], для использования лазерных импульсов в технических устройствах для целей обороны и в схеме технологий двойного назначения [13].

Средой, где будет распространятся возбужденная таким образом квазимонохроматическая волна большой амплитуды, может быть волновод, заполненный нелинейным диэлектриком [14-16], нелинейная замедляющая структура [17], генераторы или усилители СВЧ излучения, заполненные газом или плазмой [18]. Это могут быть и протяженные среды, такие как ионосфера [19], и поверхность океана [20]. В последнем случае интерес к исследованиям был стимулирован проблемами, осложняющими судоходство [21-30]. Во всех случаях в этих системах и средах при выполнении определенных условий могут развиваться модуляционные неустойчивости квазимонохроматических волн большой амплитуды.

В консервативных средах и системах, где затухание колебаний отсутствует (или пренебрежимо мало), в результате развития модуляционных неустойчивостей и процессов самофокусировок интенсивных волн

формируются известные нелинейные образования - автоволны (автомодельные решения, являющиеся следствием существования определенных симметрий [31,32], которые можно получить, в частности, методами обратной задачи рассеяния [33] или используя теорию групп [34]).

Так, численное моделирование модуляционной неустойчивости плоской волны в одномерном случае в консервативной среде, рассмотрено в работе [35] (см. также обсуждение этих численных экспериментов и ссылки на собственные исследования [8]). Происходит перестройка поля с формированием движущихся в системе покоя волны пакетов огибающей, каждый пакет медленно эволюционирует к солитонной форме.

Однако при наличии поглощения энергии (неконсервативные или открытые системы [36,37]) реализация автоволн (автомодельных решений систем уравнений) затруднена или даже невозможна. Известно, что при решении начальной задачи в консервативной системе с определенным запасом энергии с определенностью возникает набор нелинейных пространственно-волновых структур - автоволн конечной амплитуды и некоторый шум, представляющий собой множество пространственных мод малой амплитуды, слабо коррелированных между собой. То есть то, что авторами [38] характеризуется как слабый хаос. При этом доминирующие в системе нелинейные структуры способны обмениваться энергией между собой и с шумом, энергия которого может быть не мала. Нарушая консервативность системы и адиабатически изменяя характеристики шума, увеличивая или уменьшая энергию системы в целом, можно добиться подавления или роста амплитуды существующих автоволн. Такой механизм обмена энергией нелинейных структур с шумом можно считать или турбулентной диссипацией, или стохастическим возбуждением, в зависимости от того убывает или растет амплитуда соответствующей пространственной структуры [38-40].

Однако в квазиконсервативных системах такие изменения практически не меняют структуру решений.

Наличие же заметного источника и стока (вывода, поглощения и диссипации) волновой энергии превращает систему в неконсервативную и открытую по отношению к внешней среде. Существование конечного потока энергии через систему способно привести к следующим изменениям в её динамике [41,42]: а). традиционные для консервативных систем решения - автоволны сильно искажаются и способны существовать весьма ограниченное время, б). появляются новые, не характерные для консервативных систем нелинейные решения, которые тем не менее могут иметь достаточно значительные времена жизни и отличную от консервативных аналогов пространственно- временную топологию. Некоторые решения вообще характерны только для систем находящихся вблизи порога неустойчивостей и имеют выраженную пространственную четкость (кстати, характерную для линейных по амплитуде возмущений), а в модуляционно-неустойчивых средах вблизи порога неустойчивости даже приобретают фрактальный характер [43,44].

Изучение динамики развития неустойчивости волны большой амплитуды с возбуждением спектра, ответственного за её модуляцию, невозможно без применения вычислительных методов. Однако, анализ результатов численных экспериментов часто не способен ответить на вопросы о физической природе явления, не дает возможности выделить ряд интересующих исследователя процессов, понять их роль. А это необходимо для активного воздействия на процесс, для создания управляющих систем и механизмов. Характерной в этом смысле представляется публикация результатов в основном численных экспериментов по исследованию процессов появления больших всплесков на поверхности океана, представленная в работах [20-30]. Не всегда удается выделить механизмы явлений, понять их природу. Поэтому представляется полезным изучать различные достаточно простые модели описания, позволяющие выяснить основные детали процессов.

Самоподобные структуры вблизи порога модуляционной неустойчивости. Развитие модуляционной неустойчивости на начальной стадии обусловлено нелинейным резонансным взаимодействием между основной волной и боковыми сателлитами. Вблизи порога модуляционной неустойчивости ее спектральная ширина невелика, амплитуды возникающих возмущений даже в режиме насыщения остаются много меньше амплитуды начальной волны. Взаимодействие возникающих в результате неустойчивости возмущений между собой в этих условиях ослаблено, они в большей степени взаимодействуют с основной волной, причем их действие на основную волну носит интегральный характер. Именно поэтому можно считать, что такая система может быть определена как квазилинейная. Как оказалось (см., например, обзор [42]), в том числе и в результате наших исследований [45,46], квазилинейный характер процесса сохраняется и при достаточном удалении от порогов неустойчивостей, которые при этом должны с определенностью сопровождаться возбуждением плотного спектра возмущений.

В работах [44-46] были отмечены две основные черты модуляционных неустойчивостей в средах и системах с большим уровнем поглощения энергии. Во-первых, в режиме насыщения неустойчивости в результате обсуждаемых ниже механизмов конкуренции мод формируются узкие спектры боковых возмущений в пределе больших времен развитая пространственная структура приобретает характерный линейчатый спектр.

Во-вторых, теоретически было предсказано, что формирование линейчатого спектра облегчает выполнение условий для следующей, уже вторичной модуляционной неустойчивости, которая развивается в рамках подобного сценария. Промодулированная в результате развития первичной модуляционной неустойчивости волна (или структура) должна подвергаться модуляции из-за вторичной неустойчивости уже на существенно большем масштабе [47]. Результаты численных исследований такой многомодовой системы,

качественно подтвердили сделанные авторами [47] предположения и их теоретические выводы о возникновении мультифрактальной структуры возмущений. Кроме этого, было обнаружено, что в режиме насыщения неустойчивости интегральная энергия спектра стабилизируется, что свидетельствует о формировании долгоживущего квазиустойчивого физического состояния [45], и остается заметно меньше энергии основной волны.

При удалении от порога неустойчивости следует учитывать взаимодействие мод спектра неустойчивости, что приводит к изменению динамики развития процесса. Многомасштабность пространственной модуляции сохраняется, сужение спектра замедляется. Энергия спектра в режиме развитой неустойчивости уже сравнима с энергией основной волны.

Обмен энергией между основной волной и возникающим спектром в режимах развитой модуляционной неустойчивости часто приобретает характерный (отмеченный, например, в работах [48,49]) осцилляторный характер.

Не прекращаются попытки описать развитие модуляционной неустойчивости с использованием модифицированных различными способами решений, полученных для консервативных систем [50]. Однако такой подход не всегда может быть конструктивными, поскольку он не учитывает довольно активный и длительный переходный процесс формирования квазиустойчивых волновых структур. Ибо именно там часто возникают нестационарные возмущения аномальной амплитуды. Более того, устойчивость подобных структур может быть достигнута, как правило, только в узком диапазоне параметров.

С другой стороны в работах [51-52] было показано, что диссипация стабилизирует развитие модуляционной неустойчивости. При наличии диссипации, область неустойчивости в пространстве волновых чисел сужается с течением времени [45,46]. Это означает, что первоначально неустойчивые моды, оказавшись вне области неустойчивости, прекращают рост. Диссипация может остановить рост боковых мод ранее того момента, когда нелинейное взаимодействие станет существенным. Амплитуды таких сателлитов в таком случае подрастают до некоторого уровня, после чего начинают осциллировать. В работе [53] рассмотрена динамика модуляционной неустойчивости стоксовых волновых пакетов в условиях действия как диссипации, так и внешнего источника энергии. Было показано, что развитие модуляционной неустойчивости при таких условиях зависит как от частоты несущей волны, так и от интенсивности внешнего воздействия.

Авторы множества работ, исследуя сложные модели процессов и наблюдая аномально большие уединенные волновые возмущения, тем не менее, не могут утверждать, что эти волны представляют собой солитоны, ибо они имеют столь короткое время жизни, что солитонным решениям не характерно. С другой стороны это не результат интерференции случайных возмущений, ибо очевидным является развитие модуляционной неустойчивости. Следовательно, это иной процесс, который возможно является так называемой вынужденной (навязанной основной волной, которая в данном случае является «накачкой» модуляционной неустойчивости) интерференцией растущих мод спектра [54].

Развивающиеся модуляционные неустойчивости как вблизи порога, так и в отдалении от него при существовании источника и стока энергии, представляют значительный интерес, ибо реализуются во многих практических важных случаях. Основное внимание следует уделить выяснению динамики системы вблизи порога, там, где образуется квазистационарное состояние, и рассмотрению явлений при удалении от порога неустойчивости, где возможно появление короткоживущих аномальных всплесков как огибающей, так и отдельных волн. Динамика подобных режимов является малоизученной и требует проведения детального анализа как качественных, так и количественных характеристик.

Для решения задач анализа устойчивости монохроматических волны большой амплитуды в открытых системах с нелинейной средой необходимо использовать математическое моделирование на основе интегродифференциальных систем уравнений с заданными условиями. Наличие разных пространственных и временных масштабов приводит к определенной редукции уравнений, позволяющей рассматривать изменения на расстояниях больше длины волны и на временах, которые существенно превосходят период осцилляций поля. Традиционное описание динамики нелинейных возмущений с медленно меняющимися амплитудами в распределенных системах является обобщением известных асимптотических методов Крылова-Боголюбова для систем с сосредоточенными параметрами [55]. Учет дисперсии впервые был проведен в работах [56]. Существо этих методов сводится к использованию разложения решений по набору ортогональных (ортонормированных) пространственно-временных функций или, в частности, по более понятных физикам и технологам синусоидальным волнам (модам) с медленно меняющимися амплитудами и фазами, для которых используются дифференциальные и интегродифференциальные уравнения с частными производными. Применение процедур осреднения или введение разных масштабов времени и координат позволяет не только снижать порядок и размерность систем уравнений, но и заменять нелокальную нелинейность локальной и т.д.

Для выделения основных параметров задачи применяют процедуру обезразмеривания [57], причем если изучение беспараметрических систем и систем с одним параметром не представляет трудностей, то изучение систем с большим числом параметров создает проблемы для исследователей. В таком пространстве крайне трудно выделить области, где система формирует решения с нужными кондициями. В техническом смысле речь идет о трудности оптимального выбора рабочей точки и области параметров для эффективной работы

устройства, которое будет создано на основе изучаемого явления.

Описание модуляционных неустойчивостей с помощью S-теории. Интерес к параметрическим неустойчивостям в средах с кубической нелинейностью, где существуют так называемые нераспадные (распадные - трехволновые взаимодействия волн запрещены законами сохранения энергии-импульса) спектры проявлялся в разных областях физики. Наиболее продуктивными для развития нелинейной теории были исследования развития неустойчивости спиновых волн при так называемой параллельной накачке, то есть в случае, когда длина волны внешнего поля существенно больше возбуждаемых спиновых волн.

Так, например, в работе [58], было показано, что при накачке спиновых волн однородной прецессией намагниченности (k₀ →0), описываемой уравнением Лайтхилла [1] при учете возбуждения симметричного спектра, для которого выполнены условия пространственно-временного синхронизма вида 2ω0 =ω( )k +ω(−k) и 2k₀= = −0 k k механизмом ограничения неустойчивости является их обратное влияние на накачку, приводящее к «замораживанию» ее амплитуды на пороговом уровне. Дальнейшее уточнение теории [59,60], позволяло учитывать взаимодействие возбужденных мод между собой, причем основной вклад должны были обеспечивать симметричные относительно накачки пары волн

( )k ( k) ( ')k ( k')

ω +ω − =ω +ω − ^{, которые позволяли} обеспечить выполнение условий отмеченного выше пространственно-временного синхронизма для всех мод. Ряд работ группы Захарова В.Е и Львова В.С. (см.

обстоятельный обзор [61] и книгу [62]) опираясь на учет подобного взаимодействия, сформулировали подходы к описанию нелинейной стадии модуляционной неустойчивости, что в дальнейшем получило название S- теории. Для этого авторы этой теории перешли к описанию на языке корреляционных функций

*

' ( ')

k k k

A A n k k

〈 〉 = ⋅ Δ − и 〈A A_{k k'}〉 =σ_k ⋅ Δ(k+k'), обратив внимание на эффект полной корреляции (спаривания) фаз

ϕ

ϕ

exp{ }

k nk i k

σ = ⋅ −ψ ^{. К важным} результатам S-теории можно причислить обнаруженное доминирование в механизме насыщения обратного влияния на накачку спектра возбуждения при малой надпороговости и рост влияния на эффект насыщения неустойчивости фазового рассогласования при увеличении надпороговости.

В отличие от возможного описания в рамках обобщенной на случай k₀≠0 развитой в работах [58-62] S- теории, предложенная в [46,63-65] модифицированная модель S-теории, рассматривающая эволюцию отдельных мод спектра, позволила корректно проследить их поведение, определить пространственно- временную динамику волнового пакета (то есть, волн и их огибающих), а также характер процесса неустойчивости и структуру спектра при нарушении симметрии модуляционной неустойчивости волны большой амплитуды в среде с сильной дисперсией и ряд других тонких и важных для приложений деталей.

Особенностью модифицированной S-теории является возможность выделить механизмы возникновения модуляционной неустойчивости, пояснить природу возникновения волн аномальной амплитуды с малым временем жизни и оценить амплитуду модуляции неустойчивой волны на нелинейной стадии процесса в режиме насыщения. Однако, несмотря на простоту и наглядность описания нелинейной стадии модуляционной неустойчивости волн большой амплитуды в рамках S-теории, возникает сомнение в корректности такого описания на больших временах развитого процесса. По крайней мере, следует выяснить области применимости такого описания для нескольких наиболее характерных случаев развития модуляционной неустойчивости волн конечной амплитуды.

Целью данной работы является выяснение условий появления волн и огибающих волновых пакетов аномальной амплитуды в условиях интенсивного волнового волнения. Рассмотрены нелинейные уравнения для волн конечной амплитуды. Обсуждаются результаты применения как модифицированной S-теории, так и более общей теории в рамках нелинейных уравнений, когда нелинейные слагаемые вычисляются без приближений, для описания модуляционной неустойчивости в модели Лайтхилла, а также для моделирования процесса возбуждения волн аномальной амплитуды на поверхности океана.

Проведена верификация применения S-теории для этих задач путем сравнения результатов расчетов на ее основе с результатами расчетов более общей теории, когда нелинейные слагаемые вычисляются без приближений (последнее позволяет учесть различные виды взаимодействия мод спектра). Показано, что многие характеристики процесса неустойчивости на основе двух этих подходов оказываются достаточно близки, по крайней мере, на начальной стадии нелинейного режима процесса неустойчивости. Подобными оказываются также достигаемые максимальные амплитуды как модуляции (огибающей), так и отдельных волн, а также частота их появления.

В условиях слабого поглощения, энергия спектра модуляционной неустойчивости достигает значений, сравнимых с начальной энергией волны конечной амплитуды. При этом на начальной стадии нелинейного режима процесса возможно появление волн и всплесков огибающей с весьма большой амплитудой значительно чаще, чем это следует из статистически обоснованных оценок. При развитии процесса происходит снижение амплитуды основной волны, что уменьшает ее влияние на интерференцию мод спектра.

1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИЕ НЕСТАБИЛЬНОСТЬ ВОЛН БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В НЕРАВНОВЕСНЫХ СРЕДАХ И СИСТЕМАХ С

КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И КОНЕЧНЫМ УРОВНЕМ ПОГЛОЩЕНИЯ 1.1. Природа нестабильностей волн большой амплитуды

Рассмотрим неустойчивость монохроматической волны ( , ) exp{ }

A x t ⋅ i t ikxω − (1)

в волновой среде со слабой дисперсией и локальной кубической нелинейностью, где

A x t ( , )

2 2

0

k | | A

ω ω β = + ⋅ + ⋅ α

то уравнение для изменения комплексной амплитуды

A

2

2

0 2

| |

A i A i A i A A

t ω β r α

∂ = − ∂ +

∂ ∂

или в одномерном случае

2

2

0 2

| |

A i A i A i A A

t ω β x α

∂ = − ∂ +

∂ ∂

Подобная дисперсия характерна для ленгмюровских волн в плазме и колебаний в плазменных волноводах в соответствующей нормировке

2 2

0 k | |A

ω ω

Критерий Лайтхилла [1]

2 2 1 2 2

( ∂ ω / ∂ k )

⋅∂ ω (| | ) / | | 0 A ∂ A <

2 2

(| | ) / | | 0 A A ω

∂ ∂ <

то возможны также эффекты самофокусировки [8].

Интересно, что для гравитационных поверхностных волн на глубокой воде

2 2

( ){1k a k / 2}

ω ω

где линейная дисперсия определяется соотношением ω( )k = kg _{, (здесь} g _{- ускорение} свободного падения) условие Лайтхилла (6) также выполняется, несмотря на то, что условие самофокусировки (7) не выполнено.

При определенной нормировке для огибающей волнового пакета (2) при выборе зависимости от частоты и волнового вектора в форме (1) справедливо уравнение Лайтхилла [1]

2

2

2

| | ,

A A

i iA A

t x

∂ ∂

= − −

∂ ∂

Важно отметить, что слабая зависимость частоты от волнового вектора приводит к тому, что на длине модуляции оказывается много волн, то есть речь в этом случае идет об огибающей волнового пакета.

Несколько иная ситуация в случае волн на поверхности глубокой воды, где зависимость частоты от волнового вектора намного сильнее. Этот случай сильной дисперсии (т.е. сильной зависимости фазовой скорости от волнового вектора) приводит к формированию модуляции, характерный пространственный период которой может включать лишь несколько волн. Заметим, что выбор зависимости от времени и координат

( , ) exp{ }

A x t ⋅ −i t ikx

ω

приводит к уравнению

2 2

2

| | .

A A

i iA A

t x

∂ ∂

= +

∂ ∂

Очевидно, что характер процесса модуляции при этом не меняется, ибо соотношение (6) остается справедливым.

При наличии источника и стока (распределенного вывода, поглощения и диссипации) энергии волны уравнение Лайтхилла принимает вид

2

2

2 | | ,

A A

A i iA A g

t δ x

∂ = − − ∂ − +

∂ ∂ ⁽¹²⁾

где

δ

0

0 0

0 0

0

0 0 0

0

( ) exp{ ( ) } ( ) exp{ ( ) }

{ ( ) ( ) exp[ ( ) ( ) ]}exp{ ( ) }.

n

n

k n k n

n

n k k n k

n

A u t i t ik x u t i t ik x

u t u t i i k k x i t ik x

φ φ

φ φ φ

≠

≠

= − + − =

= + − − − −

∑

∑

То есть, неустойчивость понимают как возбуждение спектра

∑

≠

−

⋅

⋅

0 () exp{ ()} exp{ 0 }

n un t iϕk_n t iωt iknx , где )}

( exp{

)

(t i t

un ⋅ ϕkn – медленно меняющаяся комплексная амплитуда n-ной моды спектра. Реальное поле представляет собой модулированную волну на частоте ω₀. Поэтому для восстановления вида волнового поля следует выражение (13) умножить на

exp{ i t ω

}

ω

0 0 0 0 0

0

exp{ } { exp[ _k ] _nexp[ _kn ( _n ) ]},

n

A i t ik x uω iφ u iφ i k k x

≠

= − ⋅ +

∑

где exp{iω₀t−ik₀x}– быстро меняющаяся фаза.

Часто, используют несколько иной вид представления поля, выделяя полную фазу основной волны

0 0 0

exp{i t ik x iω − + φ_k}

0 0

0 0 0 0

0

exp{ } { exp[ ( ) ( ) ]}.

k n kn k n

n

A i t ik x iω φ u u iφ φ i k k x

≠

= − + ⋅ +

∑

Огибающую этого волнового процесса можно определить следующим образом. Обозначим быструю фазу

0t k x0 k0

ω − +φ =ϕ, а медленную

0 0

(φ_kn −φ_k ) (− k_n −k x) =ψ_n. Тогда, например, ReA A Cos= ⋅{ ϕ⋅Sinϕ−Sin Cosϕ⋅ ϕ}= − ⋅A Sin(ϕ ϕ− ),

где ₀

0

( _{n n}) /

n

Sinϕ u u Cosψ A

≠

= +

∑

0

n n/

n

Cosϕ u Sinψ A

≠

=

∑

2 2

0

0 0

( _{n n}) ( _{n n})

n n

A u u Cosψ u Sinψ

≠ ≠

= +

∑

∑

Или, возвращаясь к прежним обозначениям

0

0

2

0 0

0

2 1/2 0 0

{( [( ) ( ) ])

( [( ) ( ) ]) } .

n

n

n k k n

n

n k k n

n

A u u cos k k x

u sin k k x

φ φ φ φ

≠

≠

= + − − − +

+ − − −

∑

∑

1.2. Развитие спектра возмущений вблизи порога неустойчивости волны конечной амплитуды в модели Лайтхилла

На начальной стадии неустойчивости возбуждается спектр колебаний, волновые числа которых располагаются симметрично относительно волнового числа основной моды конечной амплитуды k_n >k₀ и

k0

k_−n< , где n > 0. Каждая пара симметрично расположенных относительно основной волны мод

k

, k

непосредственно взаимодействует с полем основной волны, причем, выполняется следующее соотношение 2 ,0

n n

k +k₋ = k (17)

которое обусловлено видом нелинейности. В данном разделе рассмотрим процесс развития модуляционной неустойчивости вблизи порога, когда можно удержать в нелинейном слагаемом симметричные относительно основной волны моды, для которых выполнены соотношения (17).

Таких взаимодействующих групп волн (каналов неустойчивости) может быть достаточно много.

Остальными видами (диаграммами) взаимодействиями мод спектра в рассматриваемом случае линейной по амплитудам теории можно пренебречь. Отметим здесь же, что при слабом превышении порога неустойчивости

[43-45], другими видами взаимодействия мод также можно пренебречь даже в режиме развитой

неустойчивости.

Вернемся к рассмотрению уравнения (12). Наибольшее взаимодействие мод спектра наблюдается при участии основной волны2k0 = k1 + k2. Получим, например, уравнение для возмущений с волновым числом

k1