Человек, принимая решения, постоянно стал- 1 Подобное определение дает, например, Dictionary of Banking

Риск и доход:

основы теории решений в условиях риска

Я ни в чем не положился на случай, разве лишь тогда, когда риск сулил большие преимущества в случае успеха, и когда у меня была уверенность, что я не останусь без ресурсов в случае пораже- ния...

Шодерло де Лакло, Опасные связи

Риск окружает нас повсюду - это настолько же объективно, насколько объективно присутствие в окружающем нас мире наряду с элементами определенности, де- терминированности, факторов, по своей природе являющихся случайными и не- определенными. Экономика и, в частности, финансы - область, где фактор риска проявляется наиболее ощутимо. Риск возникает, когда результат некоторого реше- ния невозможно заранее предугадать. В экономике результат решения часто оце- нивается в стоимостном измерении, и с этой точки зрения риск можно рассматри- вать как имеющую случайную природу возможность потери или выигрыша стои- мости¹ в результате тех или иных экономических решений.

Предельно важен фактор риска на рынках капитала. По сути, в отсутствие рис- ка, рынок капиталов, да и в целом финансовые рынки во всем своем многообра- зии, сводились бы к рынку какого-то однотипного долгового обязательства с еди- ной процентной ставкой.

Фактор неопределенности, а, следовательно, и риск объективно присущ эко- номике как сложной системе. Человек, принимая решения, постоянно стал-

1 Подобное определение дает, например, Dictionary of Banking. G. Klein, ed. Pitman, 1992.

ожидаемый доход,

r

кивается с риском. В приведенном нами эпиграфе, хотя речь идет о ситуации весьма далекой от экономических проблем, очень точно описывается поведение человека, несклонного к риску. Простой факт - люди согласны рисковать только в обмен на дополнительное вознаграждение, - является одним из основополагаю- щих принципов финансовой теории. Что определяет выбор инвестора, сталки- вающегося с риском? - основной вопрос данной главы, дающий основу для даль- нейшего рассмотрения проблем современных финансов.

3.1. Теория выбора решений в условиях риска

Теория принятия решений различает три возможные ситуации выбора решения:

1) выбор при определенности - когда результат решения детерминирован и может быть определен заранее;

2) выбор в условиях риска - когда результат заранее в точности не может быть известен, но существует информация о вероятностных распределениях возможных последствий;

3) выбор в условиях неопределенности - когда результат случаен и полностью отсутствует информация о вероятностях последствий решения.

Несмотря на четкую классификацию, с практической точки зрения грань меж- ду вторым и третьим случаем достаточно размыта, если в качестве вероятности понимать так называемую субъективную вероятность, - вероятность как степень уверенности человека в наступлении того или иного исхода.

степень риска, σ B

A

направление возрастания полезности

Оптимальный выбор в условиях риска.

Если допустимая область выбора между риском и доходом ограничена (заштри- хованная область на рисунке), наилуч- шим будет выбор, обеспечивающий наи- более высокий уровень благосостояния (полезности) из возможных. На рисунке наилучший выбор отображен точкой А, в которой наиболее высокая кривая без- различия касается допустимой области.

Рисунок 3-2

В экономической теории предполагается, что так называемый homo economicus, то есть человек, способный рационально принимать решения исходя из принципа наибольшей выгоды, всегда имеет, основанные на тех или иных со- ображениях, представления о степени рискованности той или иной альтернативы.

Эти представления основываются на степени уверенности индивида (субъектив- ных вероятностях) в наступлении различных последствий решений.

Пусть в качестве результата решения рассматривается некоторый един- ственный показатель (например, размер дохода, прибыли, богатства и т.п.), факти- ческая величина которого зависит от принимаемого решения и некоторых случай- ных факторов. То есть каждому варианту решения соответствует свое вероятност- ное распределение результата. Тогда выбор в условиях риска - это выбор среди ве- роятностных распределений, соответствующих каждому из вариантов решения.

Например, пусть решение состоит в том, покупать или не покупать лотерей- ный билет (лотерея - очень популярный пример в литературе по проблемам рис- ка). Билет стоит 10 гривен, вероятность выигрыша одного миллиона гривен со- ставляет 0.001%. Альтернативы могут быть представлены следующим образом:

ІІ І

не покупать покупать

доход = 0 c вероятностью 1 доход = 999’990 с вероятностью 0.001%

доход = -10 с вероятностью 99.999%

Существующие возможности можно также представить в виде:

Доход Распределение вероятностей результата не покупать покупать

-10 0% 99.999%

0 100% 0%

999’990 0% 0.001%

Тем самым, каждый вариант решения ассоциирован с некоторым распределением вероятностей результата.

Мы будем исходить из предположения, что человек всегда способен сделать осознанный выбор из имеющихся альтернатив решения - выбрать наиболее для него предпочтительное вероятностное распределение. Будем предполагать также, что эти предпочтения рациональны - то есть, подчиняются некоторым ес- тественным правилам.

3.1.1. Простая модель выбора решений и премия за риск

Предположим вначале, что риск может быть некоторым образом измерен, то есть каждому варианту решения соответствует, во-первых, значение ожидаемого

ожидаемый доход,

r

σ1

2

направление возрастания полезности

1

степень риска, σ r2

r1

Кривые безразличия между риском и ожидаемым доходом.

Рисунок 3-1

σ₂

(«среднего») дохода², во-вторых, некоторый показатель, характеризующий сте- пень риска данного решения (к примеру, степень возможного отклонения факти- ческого размера дохода от ожидаемого). В этом случае предпочтения человека мо- гут быть представлены с помощью стандартного микроэкономического аппарата кривых безразличия³.

Каждая точка на координатной плоскости рисунка 3-1 определяет некоторый уровень ожидаемого дохода и соответствующую степень риска его получения.

Точки, лежащие на одной и той же кривой безразличия показывают сочетания сте- пени риска и ожидаемого дохода, которые для этого человека эквивалентны.

На рисунке, если увеличение дохода с r1 до r2 сопровождается увеличением степени риска с σ₁ до σ₂, то для человека обе альтернативы эквивалентны. Форма кривых безразличия на рисунке 3-1 соответствует предположению о том, что ожи- даемый доход, если следовать терминологии теории потребительского выбора, яв- ляется «положительным» благом (чем больше доход, тем лучше), а риск - «анти- благом» (увеличение степени риска ухудшает положение индивида).

Прирост ожидаемого дохода, например, на величину (r2 - r1), который компен- сирует человеку потери благосостояния, вызванные возрастанием риска (в данном случае с σ1 до σ2) называют премией за риск.

Наклон (точнее - тангенс угла наклона) кривой безразличия - это предельная норма замены между риском и доходом (обозначим ее MRSrr), показывающая ка- ким должно быть увеличение дохода (премия за риск), чтобы компенсировать уве- личение степени риска на одну единицу:

2 Более точно - математическое ожидание дохода.

3 Математически - линий уровня функции предпочтений - комбинаций риска и дохода, обеспечивающих одинаковый уровень полезности.

MRS Дох од

r r = ΔРиск

Δ .

Другими словами, предельная норма замены характеризует относительную ценность для индивида риска и дохода при данном уровне одного и другого (то есть - индивидуальную премию за риск).

Для завершения модели, предположим, что выбор для субъекта ограничен ок- ружающими условиями (скажем, рынком). Пусть, например, существует некото- рое допустимое множество комбинаций риска и дохода, обозначенное заштрихо- ванной областью на рисунке 3-2.

Исходя из принципа рациональности выбора, человек предпочтет ту альтер- нативу из возможных, которая обеспечит ему наивысший уровень благосостояния.

На рисунке 3-2 это будет точка А - точка, соответствующая наивысшей из возмож- ных кривых безразличия.

Можно сказать, что наклон границы допустимой области представляет собой рыночную премию за риск - прирост дохода, который может быть получен при увеличении степени риска на единицу. Тем самым, наилучший выбор - это точка, где наивысшая кривая безразличия между риском и доходом касается границы допустимой области, то есть точка, где наклоны обоих кривых равны между со- бой.

Условием наилучшего выбора будет равенство:

индивидуальная премия за риск = рыночная премия за риск.

3.1.2. Несклонность к риску

Форма кривых безразличия, подобная представленным на рисунках 3-1 и 3-2 опи- сывает предпочтения человека несклонного к риску. Индивид не склонен к риску, если повышение степени риска при неизменном ожидаемом доходе негативно ска- зывается на его благосостоянии. Другими словами, риск для несклонного к риску человека - всегда «антиблаго» ⁴.

В общем случае, люди различаются своим отношением к риску. Человек скло- нен к риску, если увеличение степени риска повышает его благосостояние и ней- трален по отношению к риску, если изменение степени риска никак не сказы- вается на его уровне благосостояния. Кривые безразличия, отражающие свойства склонности и нейтральности по отношению к риску, приведены на рисунке 3-3.

Отметим важные особенности поведения людей с различным отношением к риску. Для несклонного к риску человека, снижение степени риска, даже при не- изменном ожидаемом доходе, увеличивает привлекательность решения, тогда как при нейтральности существенным является только ожидаемый доход. Для склон- ного к риску человека более рискованные решения всегда более предпочтительны.

В экономической теории предполагается, что люди в абсолютном большинстве несклонны к риску. Однако степень несклонности может различаться. Кривые безразличия на рисунке 3-4а характеризуют человека относительно более не- склонного к риску по сравнению с субъектом, кривые безразличия которого при- ведены на рисунке 3-4б. Чем большее приращение дохода необходимо, чтобы

4 Напомним, что вне зависимости от отношения к риску, доход всегда является «положительным» благом.

r r

компенсировать человеку возрастание риска, тем более он несклонен к риску. По отношению к инвестициям, большую несклонность к риску на финансовом жар- гоне называют «консервативным» или осторожным подходом. Соответственно, чем меньше несклонность к риску, тем более «агрессивно» (рискованно) поведе- ние инвестора. Формально, в рамках рассматриваемой модели, степень несклон- ности к риску характеризуется величиной предельной нормы замены между рис- ком и доходом MRS : чем большей является эта величина, тем более несклонен к риску человек. ^rr

Степень несклонности по отношению к риску можно охарактеризовать и по иному. Значение дохода при отсутствии риска, которое эквивалентно (лежит на той же кривой безразличия) некоторой рискованной альтернативе А, называется детерминированным эквивалентом решения А. Чем больше несклонность к риску, тем меньше детерминированный эквивалент одного и того же решения. На рисун- ке 3-4 детерминированный эквивалент решения А представлен точкой Е.

Отношение к риску и полезность богатства

Модель выбора решений, рассмотренная выше, основана на предположении о возможности измерения степени риска, связанного с тем или иным решением.

Это допущение является очень сильным. Мы можем от него отказаться, предло- жив более общий критерий выбора решений.

Наиболее распространенным в экономической теории является предположение о том, что человек, выбирая решения, руководствуется принципом максимизации ожидаемой полезности результата⁵.

Пусть, как и ранее, критерием оценки эффективности решения является неко- торый единственный показатель, для определенности пусть это будет размер бо- гатства (обозначим его w).

Каждому значению w соответствует определенный уровень благосостояния (полезности) u(w), обеспечиваемый человеку данной величиной богатства. В со- ответствии с гипотезой ожидаемой полезности, человек, имея определенные пред- ставления о вероятностных распределениях величины w (обозначим эти распре-

5 Формально - математического ожидания функции полезности.

направление возрастания полезности

a) б)

направление возрастания полезности

Кривые безразличия человека, склонного к риску (а) и ней- трального по отно- шению к риску (б).

Рисунок 3-3

σ σ

деления как Р), выберет то решение, при котором величина ожидаемой полезно- сти результата:

EP[u(w)]

будет максимальной. EP[ ]. в приведенной формуле обозначает ожидаемую величи- ну⁶.

Рассмотрим пример. Пусть г-н NN стоит перед выбором - инвестировать сред- ства в проект А, в результате реализации которого при прочих равных условиях объем богатства составит 10 тыс. гривен с вероятностью 50% или 1 тыс. гривен с вероятностью 50%; либо проект Б, при тех же вложениях гарантировано обеспе- чивающий богатство в размере 2 тыс. гривен.

В сформулированных выше терминах задача состоит в выборе из двух вероят- ностных распределений:

А: 10 тыс. гривен с вероятностью 0.5 ; 1 тыс. гривен с вероятностью 0.5 .

Б: 2 тыс. гривен с вероятностью 1 .

В соответствии с гипотезой ожидаемой полезности, лучшим будет вариант, обеспечивающий наибольшую ожидаемую полезность, то есть выбор зависит от того, какая из величин 0 5. ×u( '10 000)+0 5. ×u( '1000) или окажется больше и, в конечном счете, определяется предпочтениями г-на NN, - его функци- ей полезности.

u( '1000)

Хотя средний (ожидаемый) доход выше для проекта А:

А: 05 10 05 1 55. × + . × = . тыс. гривен, Б: 1 2× =2 тыс. гривен,

если предпочтения таковы как на рисунке 3-5а, лучшим для инвестора окажется

6 Оператор математического ожидания по распределению Р. Более подробно об основных понятиях теории вероятно- стей и математической статистики - см. Математическое приложение 1.

σ a) A

r

Е A

Е

r б)

Рисунок 3-4

Различия в степени несклонности к рис- ку: a) «агрессивный»

инвестор; б) «кон- сервативный» инве-

σ

полезность богатства, u

полезность бо- гатства, u

вариант Б, если же функция полезности имеет форму как показано на рисунке 3- 5б, то выбор будет сделан в пользу A. В нашем примере первый проект является рискованным, второй - нет.

Величина богатства СA, соответствующая ожидаемой полезности от проекта А, называется детерминированным эквивалентом рискованного решения А. Более строго, СA будет детерминированным эквивалентом случайной величины выиг- рыша wA, если

[ ]

E u wP ( A) = u C( A)

A

.

Критерий выбора решения теперь может быть сформулирован следующим об- разом: наилучшим является решение с наибольшим детерминированным эквива- лентом. Премия за риск в этом случае - разница между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом решения:

[ ( ) ] ^{( )}

π =E u w_{p A} −u C , где π - премия за риск.

Используя экономическую терминологию, детерминированный эквивалент СA

- это альтернативная стоимость проекта А для субъекта, принимающего реше-

ния.

Сформулируем еще одно определение несклонности к риску: субъект являет- ся несклонным к риску, если детерминированный эквивалент любого рискованного

богатство, тыс. гривен С_A

1 2 5.5 10

Критерий ожидаемой полезности богатства. При различной степени несклонности к риску, выбор несклонных к риску инвесторов может быть различным. Человек с функцией полезности как на рисунке а) - более не- склонный к риску, - выберет менее рискованный проект; если же предпочтения таковы, как на рисунке б), человек выберет более рискованный проект - ради дополнительного дохода он готов пойти на дополнитель- ный риск.

Рисунок 3-5

СA

1 2 5.5

a) б)

u(10) u(10)

u(2)

0.5u(10) 0.5u(10)

u(1)

u(1) u(1)

10

решения для него всегда меньше ожидаемого (среднего) выигрыша, получаемого в результате этого решения. Другими словами, если из двух альтернатив: гаранти- рованный выигрыш размером w0 или случайный выигрыш, ожидаемое значение которого также равно w0, человек всегда выбирает первое, то это - человек не склонный к риску. Премия за риск для субъекта не склонного к риску всегда поло- жительна, а функция полезности богатства выпукла вверх.

Заметим очень важную взаимосвязь свойства несклонности к риску и стан- дартных положений экономической теории о функции полезности: свойство убы- вающей предельной полезности (выигрыша, богатства и т.п.) предполагает не- склонность к риску. Функции, изображенные на рисунках 3-5а, 3-5б характеризу- ют людей несклонных к риску, только степень несклонности (и, следовательно, премия за риск) больше в случае 3-5а по сравнению с 3-5б. Степень несклонности к риску тем выше, чем более вогнутой является функция полезности богатства (рисунок 3-6). Можно сказать, что чем меньше человек ценит каждую дополни- тельную единицу богатства - тем менее он склонен рисковать.

Для человека нейтрального по отношению к риску функция полезности вы- игрыша будет линейной, премия за риск равна нулю, а детерминированный экви- валент решения равен ожидаемому выигрышу. То есть нейтральный по отноше- нию к риску субъект всегда выбирает решения с наибольшим ожидаемым выиг- рышем - риск для него значения не имеет. Склонный к риску человек характеризу- ется выпуклой функцией полезности (рисунок 3-7).

3.2. Теория ожидаемой полезности

В этом разделе мы несколько более формально сформулируем основное содержа- ние теории ожидаемой полезности.

Теория ожидаемой полезности была предложена в конце 40-х годов нашего столетия Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном⁷, и является разви- тием неоклассической теории индивидуального выбора для случаев, когда суще- ствует риск. На сегодняшний день подход ожидаемой полезности можно считать общепринятым как в современных финансах, так и в экономической теории в це- лом.

7 J. Von Neumann, O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior. New York: Wiley, 1947.

u(w)

w

1 2

Степень несклонности к риску и полезность богатства: чем более вогнута функция по- лезности богатства человека - тем более он не склонен к риску. Функция полезности 1 характеризует относительно более несклон- ного к риску человека (более осторожного или консервативного), по сравнению с тем, чьи предпочтения отражены функцией полез- ности 2

Рисунок 3-6

3.2.1. Гипотеза ожидаемой полезности:

формальный подход

В отличие от случая определенности, в условиях риска выбор того или иного ре- шения означает выбор вероятностного распределения некоторой случайной вели- чины (например, дохода).

Предположим, что на множестве вероятностных распределений существуют отношения предпочтения, - то есть человек может сравнивать выгодность раз- личных распределений. Причем эти предпочтения рациональны - обладают сле- дующими свойствами (удовлетворяют следующим аксиомам):

1) Полнота. Для любых двух распределений (обозначим их Р1и Р2) человек

всегда в состоянии указать более предпочтительное, либо считать их экви- валентными. Символически, это можно записать следующим образом:

∀P P1, :2 P₁ fP2 либоP₁ pP2, либо P₁ ≈P₂,

где знак « » читается как «лучше», «предпочтительнее», « » - соответст- венно, - «хуже», и «^f ≈» - «эквивалентно. ^p

2) Транзитивность. Если одно распределение лучше другого, а это другое лучше третьего, то с определенностью можно сказать, что первое распре- деление лучше третьего. То есть

P1 fP2, P2f P3, ⇒ P1fP3.

3) Непрерывность. Для любых двух распределений, одно из которых лучше другого, всегда найдется распределение, занимающее «промежуточное»

положение, то есть являющееся менее предпочтительным, чем первое, но более предпочтительным, чем второе. Причем это промежуточное распре- деление можно представить в виде линейной комбинации первых двух:

( )

P₁ fP₂ ⇒ ∃P₃ =λP₁+ 1−λP₂: P₁f P₃ fP₂, 0< <λ 1. Если предпочтения человека таковы, что удовлетворяют приведенным аксио- мам, то можно строго показать, что на множестве распределений существует функция предпочтений V(P), такая, что для двух различных распределений, одно из которых лучше другого, значение функции предпочтений для первого будет больше, чем для второго:

P1 fP2 ⇒ V P( )1 > V P( )2 .

Сформулированные аксиомы не дают нам возможности сделать вывод о кон- кретной форме функции предпочтений. Теория ожидаемой полезности предлагает постулировать еще одно свойство отношений предпочтения, так называемое свой- ство линейности (независимости):

4) Для любых двух распределений, первое будет более предпочтительным, чем второе тогда и только тогда, когда любая линейная комбинация, вклю- чающая первое распределение, будет более предпочтительна, чем аналогич-

u(w) a) u(w)

ная линейная комбинация, где вместо первого распределения присутствует второе. Формально

( ) ( ) (

∀P P P₁, , ,_{2 3} λ∈ 01, : P₁ fP₂ ⇔ λP₁+ 1−λ P₃ fλP₂+ 1−^λ

)

n

Из последней аксиомы следует свойство линейности по вероятности функции предпочтений, то есть функция предпочтений, в соответствии с теорией ожидае- мой полезности - это линейная комбинация вероятностей различных исходов, при- чем коэффициентами этого линейного разложения будут значения полезности ка- ждого из исходов. Например, пусть имеется n возможных ситуаций, в каждой из которых полезность человека принимающего решения будет равна соответственно u1, u2, ..., un. Если p1, p2, ..., pn - вероятности каждой из возможных ситуаций, ли- нейная по вероятности функция предпочтений будет иметь вид:

V p p( ,1 2,K,pn)=p u1 1+p u2 2+ +K p un .

Пусть показатель, характеризующий результат решения - только один, напри- мер, - размер богатства в каждой из ситуаций: w1, w2, ..., wn, а u(^.) - функция полез- ности богатства. Тогда функция предпочтений будет иметь вид

V p p( ,1 2,K,pn)=p u w1 ( 1)+p u w2 ( 2)+ +K p u wn ( ⁿ). (3.1) В общем случае, когда возможные результаты описываются не дискретном (как в приведенном примере), а непрерывным распределением Р, линейная по ве- роятности функция предпочтений запишется

V P( )=

∫

Ω

, (3.2) где Ω - вероятностное пространство, ∫P(dw) - интеграл Лебега. Если существует плотность распределения p(w), выражение (3.2) можно записать

w б)

б) функция полезно- сти человека ней- трального по отноше- нию к риску.

a) функция полезности богатства человека склонного к риску;

Взаимосвязь отношения к риску и формы функ- ции полезности:

Рисунок 3-7

w

V P( )= u w p w dw( ) ( )

−∞

∞

∫

Все три выражения для функции предпочтений (3.1), (3.2) и (3.3) представляют функцию V как математическое ожидание функции полезности. Таким образом, в соответствии с теорией Неймана-Моргенштерна индивид в условиях риска осуще- ствляет выбор исходя из максимизации ожидаемой полезности результата: че- ловек выбирает такое распределение P^* из множества альтернатив, что

( ) ^{( )} [ ^{( )} ]

V P V P E u w

P P P

* =max = max .

Графическая иллюстрация

Рассмотрим простую графическую иллюстрацию гипотезы ожидаемой полезно- сти⁸. Пусть выбор состоит из всех возможных лотерей (p1, p2, p3), где p1, p2, p3 - вероятности того, что размер выигрыша (богатство) составит соответственно w1, w2 или w3. Так как p1+p2+p3=1 (три указанных случая описывают все возможные состояния), мы можем выразить p3=1-p1-p2, и проиллюстрировать выбор на обыч- ном двумерном графике (рисунок 3-8). Треугольник ОАВ содержит все возмож- ные комбинации вероятностей p1, p2 и p3 (например, в точке А: p1=0, p2=1, p3=1; в точке С: p1=1/3, p2=1/2, p3=1/6). Пусть u(w1) - полезность индивида, когда выиг- рыш составит w1, u(w2) и u(w3) - соответственно полезность величин w2 и w3. Ис- ходя из гипотезы ожидаемой полезности, функция предпочтений индивида будет иметь вид:

V p p p( ,1 2, 3)= p u w1 ( 1)+p u w2 ( 2)+p u w3 ( 3).

На рисунке 3-8 сплошными линиями изображены кривые безразличия - комби- нации вероятностей, которые для данного индивида эквивалентны:

V p p p( ,_{1 2}, ₃)= const.

Кривые безразличия имеют вид прямых параллельных друг другу линий, так как мы приняли гипотезу ожидаемой полезности (линейности по вероятности функции предпочтений):

V p p p p u w p u w p u w

p u w p u w p p u w

u w u w u w p u w u w p const

( , , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ))

.

1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 1 2 3

3 1 2 1 2 3

1

=

2

+ +

= + + − −

= + − + −

=

(3.4)

8 Использован пример из работы: M. Machina. Expected Utility Hipotesys. In: The New Palgrave Dictionary of Money and Finance, vol. 1.

(3.4) - уравнение для кривой безразличия, - является уравнением прямой линии.

Пусть, для определенности, w2 > w3 > w1. Исходя из того, что функция u - возрас- тающая (чем выше выигрыш, тем выше полезность) имеем:

u(w2) > u(w3) > u(w1),

и предпочтения упорядочены, как показывает стрелка на рисунке 3-8.

В отсутствие ограничений на допустимые значения p , p1 2 и p3 наилучшим бу- дет выбор, соответствующий точке А, когда вероятность наибольшего выигрыша равна единице.

Если область выбора по каким-либо причинам ограничена (как на рисунке 3- 8б), наилучшим выбором будет, например, точка С.

Пунктирными линиями на рисунке 3-8 изображены комбинации вероятностей с одинаковым ожидаемым (средним) выигрышем: такие, что выполняется усло- вие:

p1w1 + p2w2 + p3w3 = w3 + (w1 - w3)p1 + (w2 - w3)p2 = const.

С помощью рисунка 3-8 можно привести еще одну прозрачную иллюстрацию свойства несклонности к риску. Лотереи, соответствующие точкам С и F, для ин- дивида эквивалентны (лежат на одной кривой безразличия), хотя лотерея F обес- печивает меньший средний выигрыш. Почему? Дело в том, что изображенные на 1/2

D 1 p2

a)

B A

направление возрастания по- лезности

C

Предпочтения, соответствующие гипотезе ожидаемой полезности. На рисунке, предпочтения лица, при- нимающего решения, отображены в координатах вероятностей - каждая точка в координатной плоскости соответствует некоторому распределению выигрышей. Сплошные линии представляют собой кривые без- различия. В соответствии с гипотезой ожидаемой полезности, предпочтения линейны по вероятности, - тем самым кривые безразличия являются прямыми линиями. Пунктирные линии соответствуют распределе- ниям, обеспечивающим одинаковый средний выигрыш. Несклонный к риску человек, из двух распределе- ний, обеспечивающих одинаковый средний выигрыш (например, точки С и D), всегда выберет менее рис- кованный вариант - в данном случае, это распределение D. Если доступны все возможные распределе- ния - будет выбрана точка А - когда вероятность максимального выигрыша равна единице. Если выбор ограничен (рисунок б) - будут выбрано распределение, обеспечивающее наибольшую ожидаемую полез- ность из возможных (точка С).

Рисунок 3-8

б)

1 A

1 C

0 p2

F

p1

p1

0 1/3 1

рисунках 3-8а и 3-8б кривые безразличия соответствуют человеку, несклонному к риску (они проходят круче, чем линии, соответствующие одинаковому среднему выигрышу). При переходе от С к F снижается вероятность максимального выиг- рыша, но и вероятность наименьшего выигрыша также уменьшается, в то время как вероятность промежуточного выигрыша возрастает. Можно сказать, что, хотя вариант F дает меньший ожидаемый выигрыш, он является менее рискованным, что делает варианты С и F эквивалентными для человека не склонного к риску.

Если бы кривые безразличия проходили параллельно кривым, соответствую- щим одинаковому среднему выигрышу, это говорило бы о нейтральности к риску.

Случай склонности к риску изображен на рисунке 3-9. Для склонного к риску че- ловека снижение рискованности (например, переход от C к D) всегда ухудшает положение, даже при одинаковом среднем выигрыше (точки С и D лежат на одной пунктирной линии, то есть, обеспечивают один и тот же средний выигрыш).

3.2.2. Выбор при риске и неопределенности:

простой пример

Рассмотрим предельно простой пример, иллюстрирующий рассмотренные нами концепции выбора в условиях риска. Пусть инвестор стоит перед выбором между двумя проектами: первый (скажем, проект А) обещает принести при благоприят- ной экономической ситуации прибыль в размере 10 млн. гривен, или убытки в размере 1 млн. гривен. Второй проект (проект B) в аналогичных ситуациях обес- печивает соответственно прибыль в 5 млн. гривен или убытки в 0.5 млн. гривен.

Выбор при неопределенности

Вначале будем считать, что нет никаких оснований судить о вероятностях благо- приятной или неблагоприятной ситуации, то есть выбор осуществляется в усло- виях неопределенности. Возможности выбора можно изобразить с помощью таб-

p2

1

p1 направление

возрастания по- лезности

C

Рисунок 3-9 D

Предпочтения человека, склонного к риску.

Из двух распределений с одинаковым средним выигрышем (например, С и Е), склонный к риску субъект всегда выберет более риско- ванное (в данном случае - С).

0 1

лицы:

Благоприятные условия Неблагоприятные условия Проект А Прибыль = 10 Прибыль = -1

Проект В Прибыль = 5 Прибыль = -0.5

Подобная модель в теории принятия решений носит название «игры с природой», а матрица, отображающая выигрыши (убытки) для каждого из решений при раз- личных “состояниях природы” носит название платежной матрицы.

Критерием выбора может быть, например, минимаксный критерий (миними- зация наибольших возможных убытков):

min{ max{ -100, 10}, max{ -50, 5}} = 5, (будет выбран проект В);

или критерий Гурвица:

αmax { } (i ui + 1−α) min { }i ui

где α - параметр 0 < α < 1; либо какой-то иной критерий. Тем не менее, при пред- положении об отсутствии какой-либо информации о распределениях случайных исходов, достаточно обоснованные выводы о предпочтительности того или иного решения делать чрезвычайно трудно. Это справедливо и в случае, если бы мы вместо заданных значений прибыли использовали в платежной матрице некото- рые оценки полезности каждого из вариантов решения.

Однако, как уже отмечалось, выбор при неопределенности для большинства реальных ситуаций, не является адекватной моделью. Как правило, человек, при- нимающий решения, имеет некоторые представления (которые могут быть осно- ваны на предыдущем опыте, прогнозах экспертов и т.д. - то есть на определенном массиве информации) о вероятностях возможных событий. Более того, даже когда отсутствует всякая информация, мы можем исходить из так называемого принципа максимума неопределенности - считать равновероятными все возможные исходы (тем самым, делая предположение о равномерном распределении случайных па- раметров). Так или иначе, модель выбора в условиях риска является более соот- ветствующей реальности.

Выбор при риске

В нашем примере, будем считать, что исходя из некоторых соображений рассчи- таны вероятности благоприятного и неблагоприятного сценариев, соответственно р1 и р2 (пусть, например, р1 = 0.9, p2 = 0.1). Тогда множество исходов составит:

(10,-1, 5, -0.5), и выбор необходимо сделать из двух лотерей:

1) (0.9, 0.1, 0, 0);

2) (0, 0, 0.9, 0.1).

Ожидаемая прибыль для проекта А составляет:

0 9 10 01. × + . × − =( )1 8 9. млн. гривен,

для проекта В:

0 9 5 01. × + . × −( . )05 = 4 45. млн. гривен.

Что именно выберет инвестор, зависит от того, как он оценивает для себя каж- дый из выигрышей - то есть какова полезность каждого из возможных вариантов финансового результата.

Если инвестор выбирает проект А, мы, исходя из гипотезы ожидаемой полез- ности, можем заключить, что его функция полезности имеет вид подобный тому, как показано на рисунке 3-10а - детерминированный эквивалент выигрыша для проекта А больше, чем для проекта В. Если более предпочтительным оказывается проект В - функция полезности имеет вид подобный тому, который изображен на рисунке 3-10б.

Заметим, что функция полезности на рисунках 3-10а и 3-10б описывает пове- дение человека несклонного к риску. Выбор того или иного проекта здесь опреде- ляется лишь степенью несклонности к риску (на рисунке - кривизной функции полезности прибыли).

Человек, нейтральный по отношению к риску или склонный к риску (незави- симо от степени склонности) в нашем примере всегда выберет проект А, который обеспечивает большую ожидаемую прибыль.

Оценка степени риска

Модель выбора решений значительно упрощается, если предположить, что каж- дому из проектов можно поставить в соответствие показатель степени риска.

Наиболее естественный путь - использовать показатель, характеризующий сте- пень возможного отклонения фактического размера прибыли от ожидаемого - на- пример, величину стандартного отклонения или дисперсии случайной величины прибыли для каждого из вариантов решения.

Дисперсия для рассматриваемых нами проектов А и В составит:

( ) ( )

( ) ( )

D D

A B

= × − + × − − =

= × − + × − − =

09 10 89 01 1 89 1089 09 5 4 45 01 05 4 45 27225

2 2

2 2

. . . ,

. . . .

стандартное отклонение:

σ σ

A A

= =

= =

1089 33 27225 165

. .

. .

,

Чем больше дисперсия (стандартное отклонение), тем больше риска содержит проект. Если считать показатель стандартного отклонения единственным, кото- рый характеризует рискованность проекта, то для инвестора при выборе значи- мыми будут являться только две величины - ожидаемая (средняя) доходность и степень риска (стандартное отклонение). Функция предпочтений в этом случае зависит только от двух параметров, и для описания предпочтений инвестора мы можем использовать аппарат кривых безразличия между степенью риска и ожи- даемой прибылью. Выбор, как и ранее, будет зависеть от отношения к риску ин- вестора. Более предпочтительным может оказаться проект А (рисунок 3-11а), про-

ект В (рисунок 3-11б), либо оба проекта могут оказаться одинаково привлекатель- ными (рисунок 3-11в). В соответствии с введенной ранее терминологией, выбор проекта А соответствует поведению относительно более «агрессивного» инвесто- ра, в то время как выбор проекта В характерен для относительно более «консерва- тивного» подхода.

Как и в предыдущем примере, нейтральный или склонный к риску инвестор всегда выберет проект А.

полезность

u(w)

прибыли, a)

u(10)

прибыль, млн.

гривен -1

u(5)

-0.5 Eu(wB)^B

Eu(w )A

u(-0.5)

u(-1)

CA CB 5 10

полезность

u(w) б)

прибыли, u(10)

-1 u(5)

-0.5 Eu(w )Б

Eu(w )A

Рисунок 3-10

Выбор при риске определяется степенью вогнутости функции полезности, которая характе- ризует несклонность к риску данного субъекта. Более не- склонный к риску человек (рисунок а), выберет относи- тельно менее рискованный проект (предпочтет проект В проекту А). При меньшей не- склонности к риску предпоч- тения могут быть на стороне проекта А (рисунок б).

u(-0.5)

u(-1)

прибыль, млн.

гривен C

CB 5 A 10