View of Computer modeling in the study of the effect of normalized quantities on the measurement accuracy of the quadratic transformation function

УДК 389:621.317

DOI: 10.15587/1729-4061.2022.254337

Комп’ютерне моделювання при дослідженні впливу нормованих величин на точність вимірювання квадратичної функції перетворення

В. Ю. Щербань, Г. О. Корогод, О. З. Колиско, А. П. Волівач, Ю. Ю. Щербань, Г. В. Щуцька

Проведеними дослідженнями систем рівнянь величин, що описують, відпо- відно, 5-ть та 6-ть тактів вимірювання, встановлені особливості формування надлишковості. Доведено, що найбільший вплив на результат вимірювання для обох систем має нормована за значенням температура Т1. Крім того, встано- влено, що в обох системах підвищення точності відтворення нормованої за значенням температури Т1 (при незмінному значенні похибки відтворення Т2) не призводить до суттєвого покращення результатів. Завдяки цьому можна стверджувати про використання непрецензійних нормованих джерел для відт- ворення температури Т₁. Однак при збільшенні на порядок точності відтво- рення обох нормованих за значенням температур Т1 та Т2 відбувається підви- щення точності вимірювання також на порядок. Комп’ютерним моделюван- ням підтверджено, що для рівняння надлишкових вимірювань (11) при співвід- ношенні Т₁=Т_і(0,0005·Т_і+1) на діапазоні (10÷200) °С забезпечується вимірюван- ня з відносною похибкою (0,01÷0,00003) %. При застосуванні рівняння надлиш- кових вимірювань (13) підвищення точності відбувається до 0,0059 % лише в кінці діапазону. На основі отриманих результатів встановлено, що на точ- ність надлишкових вимірювання чинить вплив вид самого рівняння, а не їх кіль- кість. Обробка результатів за рівняння надлишкових вимірювань, до речі, за- безпечує незалежність результату вимірювання від впливу абсолютних значень параметрів функції перетворення, а також їх відхилень від номінальних зна- чень під впливом зовнішніх дестабілізуючих факторів.

Таким чином, є підстави стверджувати про можливість підвищити точ- ність вимірювання в широкому його діапазоні за рахунок дотримання встанов- леного співвідношення між нормованою і контрольованою величинами.

Ключові слова: надлишкові методи, рівняння вимірювань, підвищення точ- ності, нормовані за значенням величини, похибки відтворення величин.

1. Вступ

Переважна більшість виробничих і технічних процесів пов'язана з вимірю- ванням однієї або декількох шуканих фізичних величин, від точності та досто- вірності вимірювання яких залежить якість готової продукції або кінцевий ре- зультат дослідження. То ж для лабораторних досліджень або промислового за- стосування використовують датчики, до яких висувають високі вимоги по точ- ності, лінійності та чутливості. У зв’язку з цим, на вдосконалення і подальший розвиток існуючих методів і засобів вимірювання щодо забезпечення якості вимірювання направлені відповідні дослідження та методики [1–3]. Так, для

Not

a reprint

зменшення похибки від нелінійності функції перетворення застосовують циф- рові або аналогові методи. При застосуванні цифрових методів використовують алгоритми лінеаризації, а при застосуванні аналогових методів – додаткові схе- ми лінеаризації. Однак застосування вказаних методів призводить до звуження діапазону вимірювання. На точність результату вимірювання також впливає і нестабільність функції перетворення сенсора, що спричинена дією зовнішніх дестабілізуючих факторів і старінням матеріалів чутливих елементів. Це, в свою чергу, призводить до потреби частих повірок сенсорів або до застосову- вання калібрування, що вимагає додаткових матеріальних і часових витрат.

Таким чином актуальними слід вважати дослідження, які спрямовані на комплексне вирішення задачі по підвищенню точності вимірювання при нелі- нійній і нестабільній функції перетворення сенсора.

2. Аналіз літературних даних та постановка проблеми

Процес вдосконалення датчиків і відповідних методів дослідження визна- чає якість вимірювання в цілому. То ж, для проведення достовірних вимірю- вань важливим є створення високоточних сенсорів і вдосконалення відповідних методів вимірювання. Для підвищення точності вимірювань в широкому діапа- зоні, як відомо, використовують різні заходи та методи: застосовують стабільні матеріали та калібрування, проводять корекцію систематичних похибок, прово- дять заходи з лінеаризації, підвищують чутливість тощо. Так, в роботі [4] під- вищення чутливості досягалося завдяки використанню напруги база-колектор при малому струмі, а в роботі [5] були використані елементи твердої мікроелек- троніки та багатофункціональні перетворювачі сигналів на основі калоримет- ричних методів. Шляхи підвищення швидкодії транзисторів на основі матеріа- лознавчих структур та схематичних аспектів селективнолегованих гетеротран- зисторів наведені в роботі [6]. Але залишилися невирішеними питання, пов'яза- ні зі зменшенням систематичної похибки вимірювання. Варіантом подолання відповідних труднощів може бути використання рекурсивних методів. Саме такий підхід використаний у роботі [7], де шляхом отримання індивідуальних значень опорів резисторів в масиві датчиків дало можливість зменшити перех- ресні завади. Питання зменшення систематичної похибки вимірювального ка- налу було також розглянуто в роботі [8], де підвищення точності відбувалося за рахунок введення поправок. Однак не було розглянуто питання по отриманню достовірної та корисної інформації від датчиків. Так, в роботі [9] для ефектив- ного отримання достовірної інформації від масиву датчиків газу застосовувала- ся апаратна обробка даних (аналоговий інтерфейс). Покращення ефективності обробки сигналів також було розглянуто в роботі [10], де обробка отриманих сигналів проводилась по запропонованим HD (гіперпросторовим) розрахункам.

В роботі [11] підвищення інформативності сигналів від сенсорів досягалося шляхом поєднання термічних та ємнісних методів вимірювання. Але залиши- лися невирішеними питання, пов'язані з нелінійністю характеристик сенсорів, що призводить до звуження діапазону або до збільшення похибки вимірювання.

Варіантом подолання відповідних труднощів може бути застосування методу лінеаризації. Саме такий підхід використаний в роботі [12], де запропоноване

For

reading

only

формування компенсаційного вимірювального струму та зміна коефіцієнта пе- ретворення вихідного масштабуючого підсилювача на окремих температурних діапазонах вимірювання. В роботі [13] шляхом введення корекції нелінійної кривизни при декількох еталонних температурах досягалося підвищення точно- сті роботи датчика. Шляхи розширення лінійного діапазону за рахунок вдоско- налення алгоритму обробки сигналів було представлено в роботі [14]. Однак невирішеними залишаються питання підвищення точності за рахунок мініміза- ції впливу похибок, викликаних впливом дестабілізуючих факторів на елементи вимірювання. Варіантом подолання відповідних труднощів може бути застосу- вання методів калібрування. В роботі [15] процес калібрування заснований на безперервному розгортанні температури при одночасній реєстрації калібрува- льних даних. Питання підвищення точності шляхом калібрування також було розглянуто в роботі [16]. В представленій роботі було з’ясовано, що на якість калібрування чинить вплив кількість коефіцієнтів у калібрувальному рівнянні.

Тож на основі дев’яти додаткових калібрувальних рівнянь було запропоновано нове калібрувальне рівняння, яке забезпечує високу точність і достовірність отриманої інформації. Питання підвищення точності як за рахунок лінеаризації, так і калібрування було представлено в роботі [17], де для лінеаризації кривої було запропоновано CMOS датчик температури з вбудованим калібруванням.

Але такі підходи по підвищенню точності вимагають застосування зразкових джерел (матеріалів) або високоточних компонентів, як в роботі [18], що вима- гають для своєї реалізації певних матеріальних витрат.

Незважаючи на практичну значущість отриманих результатів в достатній мірі не розглядалося питання, що пов'язано з одного боку, з розкидом характе- ристик від вимірювання до вимірювання, з іншого – з нелінійністю характерис- тик. Варіантом подолання труднощів по підвищенню точності при нестабільній і нелінійній функції перетворення в широкому діапазоні значень можуть бути рекомендовані методи надлишкових вимірювань. Так, основні теоретичні аспе- кти надлишкових методів було розглянуто в роботі [19]. В роботі [20] був про- ведений структурний аналіз рівнянь надлишкових і понад надлишкових вимі- рювань, що описують надлишкові методи, з метою дослідження статистичних характеристик до і після модифікації їх структури. Однак практичний інтерес представляє також і математичний вид рівнянь надлишкових вимірювань. В ро- боті [21] математично представлено універсальне рівняння вимірювань. Не зважаючи на те, що були наведені різні форми рівнянь надлишкових вимірю- вань, однак не була продемонстрована практична їх реалізація при різних фун- кціях перетворень сенсорів з метою отримання високоточного результату. По- дальший розвиток надлишковості вимірювання отримали в роботі [22], де була розглянута можливість високоточного вимірювання опору резистивних сенсо- рів шляхом отримання не одного, а декількох базових рівнянь надлишкових вимірювань. Однак такі результати були отримані при лінійній функції перет- ворення. Тож для вирішення питання щодо застосування методу надлишкових вимірювань при нелінійній функції перетворення в роботі [23] був розглянутий сенсор з логарифмічною функцією перетворення. Показано ефективність пред- ставлених методів щодо підвищення точності вимірювань і можливості забезпе-

Not

a reprint

чення метрологічного самоконтролю. Однак не було розглянуто питання щодо впливу на результат вимірювання випадкової складової похибки вимірювання.

Варіантом подолання відповідних труднощів може бути підхід, що запропоно- вано в роботі [24]. Обробка результатів вимірювань по запропонованим підхо- дам дозволяє стверджувати про підвищення точності вимірювань за рахунок ви- ключення систематичної складової похибки, обумовленої зміною параметрів фу- нкції перетворення, а також зменшення випадкової складової похибки. Але за- лишилося невирішеними питання, щодо впливу значень нормованих величин та їх співвідношення з шуканою величиною на кінцевий результат вимірювання при нелінійній функції перетворення. Тож, подальшими дослідженнями методів надлишкових вимірювань, що були наведені в роботі [25], була встановлена та- ка закономірність між нормованою і шуканою величинами, при якій відбува- ється суттєве розширення діапазону високоточних вимірювань. Отримані ре- зультати продемонстрували високу ефективність методів надлишкових вимі- рювань щодо підвищення точності вимірювання за рахунок корегування зна- чень нормованих величин при логарифмічній функції перетворення. Однак такі сенсори як транзистор і терморезистор мають квадратичні функції перетворен- ня. Таким чином, науковий інтерес представляє подальше визначення шляхів по підвищенню точності вимірювань при квадратичній і нестабільній функції перетворення.

Це дозволяє стверджувати про доцільність проведення досліджень щодо ви- значення впливу нормованих за значенням величин та їх співвідношень з конт- рольованою величиною на точність вимірювання при квадратичній функції пе- ретворення сенсора.

3. Мета та задачі дослідження

Метою дослідження є визначення такого співвідношення між контрольо- ваною та нормованою величинами, при якому забезпечується підвищення точ- ності при квадратичній функції перетворення сенсора. Це дасть можливість шляхом корегування значень нормованих величин контролювати процес вимі- рювання з високою точністю в широкому діапазоні вимірювання.

Для досягнення поставленої мети вирішувалися наступні задачі:

– провести комп’ютерне моделювання системи нелінійних рівнянь величин, що складається з 5-ти рівнянь, та відповідного рівняння надлишкових вимірювань по дослідженню впливу нормованих величин на результат вимірювання;

– провести аналогічне комп’ютерне моделювання системи нелінійних рів- нянь величин, що складається з 6-ти рівнянь, та відповідного рівняння надлиш- кових вимірювань по дослідженню впливу нормованих величин на результат вимірювання;

– зробити порівняльний аналіз отриманих результатів при застосуванні кож- ної із запропонованих систем з відповідним рівнянням надлишкових вимірювань.

For

reading

only

4. Матеріали та методи дослідження

4. 1. Досліджувані матеріали і засоби моделювання

В якості досліджуваного матеріалу було обрано первинний перетворювач температури – кремнієвий біполярний транзистор КТ3132 А-2 (Україна).

В якості засобів для математичного моделювання були використані прик- ладні програми Mathcad15.0 (США) та MS Excel (США).

4. 2. Метод дослідження надлишкових вимірювань

Для комплексного вирішення задачі по підвищенню точності у всьому діа- пазоні вимірювань добре зарекомендували себе методи надлишкових вимірю- вань (МНВ). Сутність МНВ полягає у розділеному у часі вимірювальному перет- воренні крім шуканої фізичної величини ще й декількох нормованих за значен- ням фізичних величин, які пов’язані з шуканою певною закономірністю. Кіль- кість таких вимірювань залежить від кількості параметрів функції перетворення (ФП). Так, якщо ФП складається з (n) параметрів, то кількість тактів вимірювань повинна складати не менше ніж (n+1). Особливістю застосування МНВ при не- лінійній ФП є наявність тактів вимірювання, в яких відбувається одночасне ви- мірювання шуканої і нормованої за значенням величини (або величинами). В за- гальному випадку математична модель МНВ представляє собою систему рівнянь величин, що описує такти вимірювань, в результаті рішення якої отримують рів- няння надлишкових вимірювань шуканої фізичної величини. В загальному випа- дку нелінійна ФП виду:

 ^{, , ,} ^,

x i H L

y  f x S S y (1)

має 4 параметри, отже необхідно скласти систему рівнянь не менше ніж з 5-ти рівнянь величин:

 

 

 

 

 

1 1

2 2

3 3

4 2

5 3

, , , ;

, , , ;

, , , ;

, , , , ;

, , , , .

H H L

H H L

H H L

H i H L

H i H L

y f x S S y

y f x S S y

y f x S S y

y f x x S S y

y f x x S S y

   

  

      



      



      



      



(2)

Рішення даної системи відносно шуканої величини xi, дає змогу отримати її значення:

 1, ..., 5, 1, 2, 3,

i H H

x  F y y x x x (3)

де y_{H j} – вихідні сигнали датчика (j=5);

xi – шукана фізична величина величини;

Not

a reprint

x1, …, x3 – нормовані за значення фізичні величини, розміри яких зв’язані між собою за певним законом, від джерела з нормованими характеристиками;

H , S

SL – чутливість (крутість) перетворення нелінійної і лінійної складової функції перетворення;

y' – параметр (зміщення) функції перетворення з врахуванням адитивної складової похибки.

Як видно з рівняння надлишкових вимірювань (3), отримане значення шу- каної величини xi не залежить від значень параметрів ^S_H^{ , S}_L^, y' нелінійної фу- нкції перетворення, а отже і від їх відхилень від номінальних значень.

Нижче розглянуто застосування МНВ при квадратичній ФП та вплив нор- мованих за значенням величин на результат вимірювання у випадках, коли сис- тема складається з (n+1) та з (n+2) рівнянь надлишкових вимірювань, що опи- сують собою такти вимірювань.

Квадратична ФП має вид:

2 ,

H H i L i

y  S x  S x  y (4)

Оскільки квадратична ФП (4) має 4 параметри, тож було досліджено два варіанти систем (5), (6), що складаються з 5-ти та з 6-ти тактів вимірювань, що описуються відповідними рівняннями величин. Так, за умови можливості фор- мування нормованих за значенням фізичних величин х1, 2х1 та х2 система нелі- нійних рівнянь величин прийме вид:

   

   

2

н 1 н 1 л 1

2

н 2 н 2 л 2

2

н 3 н л

2

н 4 н 1 л 1

2

н 5 н 1 л 1

;

;

;

;

2 2 .

i i

i i

y S x S x y

y S x S x y

y S x S x y

y S x x S x x y

y S x S x y

        



        

        



          



        



(5)

За умови можливості формування нормованих за значенням фізичних ве- личин х₁, 2х₁ та 2х₂ система нелінійних рівнянь величин прийме вид:

   

   

   

2

н 1 н 1 л 1

2

н 2 н 2 л 2

2

н 3 н л

2

н 4 н 1 л 1

2

н 5 н 1 л 1

2

н 6 н 2 л 2

;

;

;

;

2 2 ;

2 2 .

i i

i i

y S x S x y

y S x S x y

y S x S x y

y S x x S x x y

y S x S x y

y S x S x y

   

    

        



        

          



        



        



(6)

For

reading

only

В результаті рішення систем (5) і (6) були отримані відповідні рівняння надлишкових вимірювань шуканої фізичної величини хі:

 

 

 

     

2 2 2 2

5 3 1 2 1 2 4 1 1 2 2 1 2 1

2 1 4 1 1 2 1

3 2 2

2

H H H H H H

i

H H H H

y y x x x x y y x x x x y y

x

x x y y x y y

             

          

(7)

та

 

   

   

2 2

4 3 2 1 1 1 2 2 1 6 5 1

1 6 5 2 1

2 4

. 2

2 2

H H H H H H

i

H H H H

y y x x x x x y y y y x

x

x y y y y

              

 

   

    

 

(8)

В рівняннях надлишкових вимірювань (7), (8) завдяки різницям вихідних сигналів датчика виключається адитивна складова похибки вимірювання, а завдя- ки їх діленню виключається мультиплікативна складова систематичної похибки.

Таким чином виключаються вплив параметрів S_H , S_L, y' на результат вимірю- вання, що підтверджує ефективність застосування МНВ при квадратичній ФП.

5. Результати комп'ютерного моделювання по підвищенню точності вимірювань

5. 1. Комп'ютерне моделювання системи рівнянь, що складається з 5- ти рівнянь величин

Як відомо [11], залежність напруги база-емітер транзистора від температу- ри описується рівнянням:

2

0 ,

b e t b e t A i B i

U  U  U T  U T (9)

де Ubet0 – значення напруги база-емітер при t=0 °С;

.^{U A} . – лінійний коефіцієнт зміни напруги база-емітер від температури;

U B

 – квадратичний коефіцієнт зміни напруги база-емітер від температури;

Ti – значення шуканої температури.

При умові формування за допомогою стандартних джерел з нормованими характеристиками значень температур T1, 2T1 та T2 на основі системи (5) отри- муємо наступну систему рівнянь:

 

   

2

1 0 1 1

2

2 0 2 2

2

3 0

2

4 0 1 1

2

5 0 1 1

;

;

;

2 2 ;

.

b e t b e t A B

b e t b e t A B

b e t b e t A i B i

b e t b e t A B

b e t b e t A i B i

U U U T U T

U U U T U T

U U U T U T

U U U T U T

U U U T T U T T

         



         

         



         



           



(10)

Not

a reprint

В результаті рішення системи (10) було отримане рівняння надлишкових вимірювань шуканої температури Ti:

 

 

 

     

2 2 2 2

5 3 1 2 1 2 4 1 1 2 2 1 2 1

2 1 4 1 1 2 1

3 2 2

. 2

i

b e t b e t b e t b e t b e t b e t

b e t b e t b e t b e t

T

U U T T T T U U T T T T U U

T T U U T U U



             

        

(11)

Як видно з рівняння надлишкових вимірювань (11), в нього не входять пара- метри U _A, U _B і ^U _{b e t}^ ₀^, тобто виключається їх вплив на результат вимірювання.

Для комп’ютерного моделювання було задано межі змін для параметрів

A, U 

 U _B і U_{b e t} ₀, що лежать в рамках ±10,0 %. Значення похибки відтворення

нормованих за значенням температур Т1 і Т2 було обрано т=0,001 °С. Таким чином система (10) прийме вид:

   

   

   

 





2

1 0 1 1

2

2 0 2 2

2

3 0

4 0 1 1

1 .1 1 .1 0 .0 0 1 1 .1 0 .0 0 1 ;

1 .1 1 .1 0 .0 0 1 1 .1 0 .0 0 1 ;

1 .1 1 .1 0 .0 0 1 1 .1 0 .0 0 1 ;

1 .1 1 .1 2 0 .0 0 1 1 .1 2 0 .0 0 1

b e t b e t A B

b e t b e t A B

b e t b e t A i B i

b e t b e t A B

U U U T U T

U U U T U T

U U U T U T

U U U T U T

          

          

          

          

   

2

2

5 0 1 1

;

1 .1 1 .1 0 .0 0 1 1 .1 0 .0 0 1 .

b e t b e t A i B i

U U U T T U T T















             



(12)

При моделюванні було обрано транзистор КТ3132 А-2 з діапазоном вимі- рювань від 10 °С до 200 °С, Ubet0=0,6 В та при UA=1,882 мВ/°С,

UB=0,41 мкВ/°С² [11]. Для дослідження впливу значення кожного з нормованих температур Т1 і Т2 на результат вимірювання Ti за рівнянням (12) було розгляну- то 3 випадки:

1) Т1=Т2=(10÷100) °С з кроком в 30 °С;

2) Т₁=(10÷100) °С, Т₂=(1÷10) °С з кроком в 30 °С;

3) Т₁=(1÷10) °С, Т₂=(10÷100) °С з кроком в 30 °С.

В результаті проведення комп’ютерного моделювання в середовищі Mathcad15.0 на трьох ділянках робочого діапазону (на початку, в середині і на кінці) були отримані наступні значення відносних похибок вимірювання, які представлені в табл. 1–3.

Як видно з представлених вище таблиць (табл. 1–3), існує певний зв'язок між Т_і та нормованими за значеннями температурами Т₁ і Т₂. З’ясовано, що більш суттєвий зв’язок виявлено між значенням Т₁ і Ті ніж між Т₂ і Т_і. Так, най- менше значення відносної похибки отримують при близькості Т₁ до Т_і. Най- кращі результати по точності були отримані для другого випадку (табл. 2) при Т1=(10÷100) °С, Т2=(1÷10) °С. Для даного випадку було розглянуто вплив похи- бок відтворення нормованих за значенням температур Т1 і Т2 при різних варіан- тах їх значень. З’ясовано, що підвищення точності відтворення нормованої за

For

reading

only

значенням температури Т1 (при незмінному значенні похибки відтворення Т2) не призводить до суттєвого покращення результатів, що дає підстави викорис- товувати непрецензійне нормоване джерело для відтворення Т1. Натомість, при збільшенні точності відтворення обох нормованих за значенням температур Т₁ і Т₂ на порядок сприяє підвищенню точності вимірювання також на порядок.

Таблиця 1

Відносні похибки вимірювань (%) при Т1=Т2=(10÷100) °С Ti=10 °С

Тij Т21=10 °С Т22=40 °С Т23=70 °С Т24=100 °С

Т₁₁=10 °С 0,0095 0,010 0,010 0,010

Т₁₂=40 °С 0,491 0,871 3,504 1,810

Т₁₃=70 °С 0,302 0,399 0,577 1,023

Т₁₄=100 °С 0,217 0,262 0,326 0,430

T_i=100 °С

Т11=10 °С 3,974 2,141 0,849 0,532

Т12=40 °С 0,101 0,177 0,703 0,359

Т13=70 °С 0,017 0,021 0,030 0,053

Т14=100 °С 0,0009 0,0009 0,0009 0,0009

Ti=200 °С

Т₁₁=10 °С 4,194 2,261 0,897 0,562

Т₁₂=40 °С 0,134 0,235 0,937 0,479

Т₁₃=70 °С 0,034 0,045 0,064 0,112

Т₁₄=100 °С 0,013 0,016 0,019 0,025

Таблиця 2

Відносні похибки вимірювань (%) при Т₁=(10÷100) °С, Т₂=(1÷10) °С Ti=10 °С

Т_ij Т₂₁=1 °С Т₂₂=4 °С Т₂₃=7 °С Т₂₄=10 °С

Т₁₁=10 °С 0,0094 0,0093 0,0091 0,0089

Т12=40 °С 0,433 0,451 0,470 0,491

Т13=70 °С 0,282 0,288 0,295 0,302

Т14=100 °С 0,207 0,210 0,214 0,217

Ti=100 °С

Т11=10 °С 2,133 2,523 3,087 3,974

Т₁₂=40 °С 0,090 0,093 0,097 0,101

Т₁₃=70 °С 0,016 0,016 0,016 0,017

Т₁₄=100 °С 0,0009 0,0009 0,0009 0,0009

T_i=200 °С

Т11=10 °С 2,251 2,662 3,258 4,194

Т12=40 °С 0,119 0,123 0,128 0,134

Т13=70 °С 0,032 0,033 0,034 0,034

Т14=100 °С 0,013 0,013 0,013 0,013

Not

a reprint

Таблиця 3

Відносні похибки вимірювань (%) при Т1=(1÷10) °С, Т2=(10÷100) °С Ti=10 °С

Тij Т21=10 °С Т22=40 °С Т23=70 °С Т24=100 °С

Т11=1 °С 121,219 12,446 6,595 4,503

Т₁₂=4 °С 81,548 2,244 1,140 0,765

Т₁₃=7 °С 4,248 0,775 0,352 0,226

Т₁₄=10 °С 0,0089 0,011 0,010 0,010

Ti=100 °С

Т11=1 °С 133,385 13,704 7,267 4,964

Т12=4 °С 130,543 3,606 1,840 1,240

Т13=7 °С 13,149 2,434 1,121 0,731

Т14=10 °С 3,974 2,141 0,849 0,532

Ti=200 °С

Т11=1 °С 134,061 13,774 7,304 4,990

Т₁₂=4 °С 133,265 3,682 1,878 1,266

Т₁₃=7 °С 13,643 2,526 1,164 0,759

Т₁₄=10 °С 4,194 2,261 0,897 0,562

Оскільки найкращі результати за точністю були отримані для другого ви- падку (табл. 2) при Т₁=(10÷100) °С, Т₂=(1÷10) °С, то він був розглянутий більш детальніше. Для цього дослідження проводилися при Т1=(10÷100) °С з кроком в 10 °С і при Т2=(1÷10) °С з кроком в 1 °С, а також при Ti=50 °С. Отримані розра- хунки відносної похибки вимірювання для другого випадку наведені в табл. 4.

Таблиця 4

Відносні похибки вимірювань (%) при Т₁=(10÷100) °С, Т₂=(1÷10) °С Ti=50 °С

Температура Т₂₁ Т₂₂ Т₂₃ Т₂₄ Т₂₅ Т₂₆ Т₂₇ Т₂₈ T29 T210

Т₁₁ 1,897 2,000 2,115 2,244 2,390 2,555 2,746 2,966 3,226 3,535 Т12 0,356 0,365 0,375 0,386 0,397 0,408 0,421 0,434 0,448 0,462 Т13 0,107 0,109 0,111 0,112 0,115 0,117 0,119 0,121 0,123 0,126 Т14 0,032 0,032 0,032 0,033 0,033 0,034 0,034 0,034 0,035 0,035 Т15 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 Т16 0,011 0,011 0,011 0,012 0,012 0,012 0,012 0,012 0,012 0,012 Т₁₇ 0,017 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,019 0,019 0,019 Т₁₈ 0,020 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,022 0,022 Т₁₉ 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,023 0,023 0,023 0,023 Т₁₀ 0,022 0,022 0,022 0,022 0,023 0,023 0,023 0,023 0,023 0,023 Як видно з табл. 4, отримані результати підтверджують той факт, що зна- чення Т₁ повинно бути рівним Т_і або перевищувати його, натомість значення Т₂ при цих умовах має незначний вплив. Таким чином, при подальших розрахун- ках було обрано значення Т2=10 °С. Для знаходження бажаного співвідношення

For

reading

only

між значеннями Т1 і Ті, при яких забезпечуються високоточні результати вимі- рювання, було застосовано пакет аналізу даних MS Excel для нелінійної функції.

Використовуючи опцію пошуку рішення та побудувавши лінію тренду, було знайдено оптимальне співвідношення між Т₁ і Т_і, при якому відбувається змен- шення похибки вимірювання. Таким чином було встановлено таке співвідношен- ня між значеннями Т1 і Ті виду Т1=Ті(0,0005·Ті+1), при якому забезпечується ви- сокоточне вимірювання температури з відносною похибкою (0,01÷0,00003) % на діапазоні вимірюваних температур (10÷200) °С.

Оскільки результати, що наведені в табл. 1, близькі до результатів, наведе- них в табл. 2, то цей випадок був теж розглянутий більш детальніше. Так, при детальному дослідженні першого випадку при Т₁=Т₂=(10÷100) °С і Т_i=100 °С, що відповідає табл. 1, було побудовано функціональну залежність відносної похибки вимірювання від нормованих значень Т1 і Т2. На рис. 1 представлено графік поверхні, де по осі z знаходяться значення відносної похибки, по осі i – порядковий номер кроку (від 1 до 10) для Т1=(10÷100) °С, j – порядковий номер кроку (від 1 до 10) для Т2=(10÷100) °С.

Рис. 1. Графік залежності відносної похибки від значень нормованих температур Як видно з рис. 1, існує певне небажане співвідношення між Т1 і Т2, при якому вимірювання стають недопустимі. На основі рис. 1 та проведених розра- хунків в середовищі Mathcad15.0 було з’ясовано, що Т2≠2Т1. Причому, при збі- льшенні різниці між Т₁ і Т_i, це співвідношення буде не точковим, а мати певний діапазон з максимумом похибки в точці Т₂≠2·Т₁. Це свідчить про доцільність дотримання знайденого раніше співвідношення між значеннями нормованої те- мператури Т1 і контрольованої Ті, що має вид Т1=Ті(0,0005·Ті+1). Крім того, при вимірюваннях на початку діапазону при Т1=Т2=(10÷100) °С і Тi=100 °С потрібно точніше дотримуватися бажаного співвідношення між нормованими темпера- турами Т₁ і Т₂.

Not

a reprint