УДК 539.3
DOI: 10.15587/1729-4061.2021.241287
Развитие обобщающего метода решения задач механики сплошной среды применительно к декартовой системе координат
В. В. Чигиринский, Е. Г. Науменко
При вирішенні задачі механіки суцільного середовища виявлено визначальні узагальнення за допомогою методу аргумент функцій. Метою дослідження бу- ло розвиток нових підходів вирішення задач механіки суцільного середовища з використанням визначальних узагальнень в декартовій системі координат.
До розгляду вводять додаткові функції, або аргумент функції координат осередку деформації. Носіями пропонованих аргумент функцій повинні бути базові залежності, що задовольняють граничним або крайовим умовам, а та- кож функції, що спрощують розв'язок задачі в загальному вигляді.
Однак залишилися невирішеними проблеми, пов'язані з тим, яким чином повинні визначатися не самі рішення, а умови їх існування. Такі узагальнені під- ходи дозволяють прогнозувати результат для нових прикладних задач, розши- рюють можливості вирішення з метою задоволення різноманітних граничних і крайових умов.
Запропонований підхід дозволяє визначити цілий ряд аргумент функцій, кожна з яких може бути умовою єдиності для конкретної прикладної задачі.
Такі узагальнення стосуються визначення не конкретних функцій, а умов їх іс- нування. З цих позицій докладно була вирішена плоска задача, протестована, порівняна з дослідженнями інших авторів.
На базі отриманого результату розроблена математична модель плоскої прикладної задачі теорії пружності зі складними граничними умовами. Вирази представлені в безкоординатній формі, зручні для аналізу, забезпечують зруч- ний з обчислювальної точки зору контекст.
Показано вплив фактора форми балки на розподіл напружень в перехідних зонах з різною інтенсивністю їх загасання.
Наводячи рішення до частинного результату, отриманий вихід на класич- ні рішення, що підтверджує його достовірність. Отримано математичне об- ґрунтування принципу Сен-Венана стосовно вигину балки зі змінним асиметри- чним навантаженням.
Ключові слова: узагальнені підходи, аргумент функції, декартові коорди- нати, рівняння Лапласа, співвідношення Коші-Рімана.
1. Введение
Базой развития экономики любого государства является внедрение и ис- пользование передовых технических решений в разных сферах производства.
Их разработка и внедрение ставят перед исследователями новые более сложные теоретические и практические задачи, которые необходимо решать. Это вызы- вает необходимость разработки новых, более эффективных подходов получе-
Not
a reprint
ния конечного результата и выявления упрощающих обобщений в процессе решения самой задачи.
К таким обобщениям можно отнести условия существования решений раз- ных типов дифференциальных уравнений механики сплошной среды, к приме- ру, в виде дифференциальных инвариантных соотношений Коши-Римана. Та- кой результат достигается при использовании метода аргумент функций ком- плексной переменной. Положительным фактором является то, что представ- ленный метод имеет перспективу развития в таких направлениях механики сплошной среды, как теория пластичности, упругости, динамических задачах теории упругости. В этом случае речь идет о нахождении более сложных ана- литических решений, способных отказаться от ряда упрощений в задачах, по- лучить ряд разрешающих функций, удовлетворяющих более сложными разно- образным краевым условиям.
2. Анализ литературных данных и постановка проблемы
Одной из первых работ в данном направлении была публикация по теории пластичности [1], в которой излагались базовые подходы решения задачи. В дальнейшем пошли разработки, использующие сочетание методов аргумент функций и функций комплексной переменной [2], инвариантных дифференци- альных обобщений в полярной системе координат [3]. Следует подчеркнуть, что результат, полученный при упрощении в этих работах, коррелируется с ре- зультатами решений других авторов.
Представляет интерес рассмотреть публикации в литературе, посвященные определяющим обобщениям в решениях задач механики сплошной среды.
Определению напряженного состояния в зонах упругого нагружения по- священа монография [4]. Рассматриваются обобщения структуры численных и аналитических решений задач теории упругости [5], метод интегральных соот- ношений для оценки кинематических возмущений [6], базирующийся на вариа- ционных неравенствах.
Показан анализ изменения характера нагружения по толщине образца при действии компактного натяжения [7]. Максимальная зона расположена ближе к поверхности, что свидетельствует о неравномерности напряженного состояния материала. Учет неоднородности напряженно-деформированного состояния сплава в теории характеризуется введением в рассмотрение координатных функций, или в данном случае – аргумент функций.
Рассмотрена локальная задача нагружения у основания несплошности с использованием общего подхода, определяемым состоянием среды [8]. Повто- ряющаяся неоднородность напряженного состояния или изменение очевидных условий показывают необходимость использования в решении координатных функций в сочетании с периодическими зависимостями. В случае метода аргу- мент функций это представляет собой сочетание базовых функций, включая тригонометрическую, и соответствующую ей аргумент функцию.
Переменные напряжения и деформации в процессе нагружения являются основными причинами снижения прочности и долговечности изделий [9]. Это делает актуальным решение прикладных задач, характеризующих напряженное
For reading
only
состояние изделий, при помощи подходов классических уравнений теории ме- ханики сплошной среды.
Поиск новых методов решения упругих и упругопластических задач также является актуальным. Применение математического аппарата теории функций комплексного переменного позволяет получить аналитическое решение плос- кой задачи теории упругости.
Показано [10], что существуют условия перехода для ввода в рассмотрение дополнительно разделенных переменных (аналог аргумент функций) при пере- форматировании одного типа дифференциальных уравнений в другой. Сама идея перехода является продуктивной, но появление при этом дополнительных решений не означает определение условий существования решений.
В задаче [11] представлена возможность спрогнозировать одну из базовых функций. Тригонометрическая функция реализована при структурной поста- новке практической задачи. В решении нет рассмотрения аргумент функции как замыкающей составляющей общего результата.
Определено циклическое нагружение в случае простого сдвига, что нахо- дит соответствующий отклик внутренних напряжений [12]. Как и ранее, в рас- смотрение вводится базовая тригонометрическая функция. Показано ее исполь- зование при различном нагружении. Не приведены возможности ее сочетания с аргумент функциями. Важным обстоятельством предложенного решения явля- ется выбор базовой тригонометрической функции, хотя о замыкающем реше- нии речь не идет. Изменение внешнего нагружения вызывает реакцию со сто- роны среды по экспоненциальному закону [13]. Это сопоставимо с использова- нием фундаментальной подстановки в методе аргумент функций. Однако функциональное назначение предлагаемой зависимости в работах разное, что не позволяет применить одну из аргумент функций в решении.
В сочетании базовых функций характеризуются рабочие напряжения в процессе нагружения детали. В работе [14] предложен метод R-функций, кото- рый по функциональным возможностям перекликается с методом аргумент функций. Однако применение метода R-функций не приводит к установлению определенных соотношений; они задействованы в других схемах нахождения решений (например, используя вариационные принципы).
В итоге показано, что присутствуют тенденции использования обобщаю- щих подходов в решении задач механики сплошной среды, и, в частности, тео- рии упругости. Охватывается значительное поле проблем, объединенных неко- торыми подходами в постановке и решении теоретических, практических задач:
использование одинаковых базовых функций; некоторых дополнительных за- висимостей, способных получить конечный результат; выбор подходов в реали- зации прогнозирующих функций.
Однако остались нерешенными проблемы, связанные с тем, каким образом должны определяться не сами решения, а условия их существования. Такие обобщенные подходы позволяют прогнозировать результат для новых при- кладных задач, расширяют возможности решения с целью удовлетворения раз- нообразных граничных и краевых условий в задачах непрерывно меняющего производства.
Not
a reprint
Вариантом преодоления таких трудностей является использование метода аргумент функций комплексной переменной, который показал свои возможно- сти при решении разноплановых задач механики сплошной среды [15]. Те об- щие закономерности, которые выявлены, позволяют ставить и решать новые задачи в теории упругости: например, исследование напряженного состояния в декартовых координатах с использованием аргумент функций для более слож- ных моделей теоретических и прикладных задач.
3. Цель и задачи исследования
Целью исследования является развитие обобщающего метода решения за- дач механики сплошной среды, включая теорию упругости, с учетом и исполь- зованием определяющих обобщений в декартовой системе координат.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
– предложить подход к поиску новых более сложных обобщенных реше- ний задач теории упругости в декартовой системе координат с использованием метода аргумент функций комплексной переменной;
– на базе полученного результата разработать математическую модель плоской прикладной задачи теории упругости со сложными граничными усло- виями, учитывающую процесс затухания концевых нагружений с переходом к разным зонам напряженного состояния;
– показать влияние фактора формы балки на распределение напряжений в переходных зонах с разной интенсивностью их затухания;
– получить математическое обоснование принципа Сен-Венана примени- тельно к изгибу балки с переменным асимметричным нагружением.
4. Материалы и методы исследования
При решении задачи механики сплошной среды выявлены определяющие обобщения с помощью метода аргумент функций.
В литературе хорошо известна постановка плоской задачи теории упруго- сти [4, 16–18]. В этом случае имеем:
0,
x xy
x y 0,
yx y
x y 2( x y) 2
2 0
0. (1) Граничные условия в напряжениях:sin 2 cos 2 , 2
n x y xy (2)
где σ0 – среднее нормальное напряжение или гидростатическое давление; σ, τ – нормальное, касательное напряжения; φ – угол наклона контактной площадки.
В работах [1–3] граничные условия представлены тригонометрической формой, вида:
For reading
only
sin 2 ,
n Ti (3)
что подразумевает для (3):
sin ,
xy Ti x y 2Ticos
,(4)
где Ti=Ti(x,y) – функция координат, или интенсивность касательных напряже- ний, АФ – неизвестная функция координат, или первая аргумент функция. Для плоской задачи имеет место следующая зависимость:
2 21 4 .
2
i x y xy
T (5)
Подставляя (4) в (5), имеем тождество, что свидетельствует о соответствии и упрощении основных положений вывода и граничных условий решаемой задачи.
В данном случае линеаризация не является только одним преимуществом тригонометрической подстановки. Последние функции выражаются через экс- поненциальную зависимость, показатель которой представлен комплексной пе- ременной. Фундаментальная подстановка используется тогда, когда исходная система уравнений линеаризована. В этом случае можно представить:
exp ,
Ti С (6)
где θ=θ(x,y) – неизвестная функция координат, или вторая аргумент функция. С учетом (4), (6) касательное напряжение можно представить в базовых функциях:
sin exp sin .
xy Ti С (7)
В случае (7) меняется постановка задачи, которая может быть сформулиро- вана следующим образом. При каких значениях аргумент функций θ и АФ систе- ма уравнений (1), (2) будет тождественно удовлетворена. В работе [2] предложено решение данной системы уравнений в декартовых координатах в виде:
1 2
0
exp cos sin ,
x C C f x C
1 2
0
exp cos sin ,
y C C f y C
1 2
exp sin cos ,
xy C C
x y, y x,
0, 0.
xx yy xx yy (8)
Not
a reprint
В публикации [3] предложено более сложное решение для полярных коор- динат. Анализ показывает, что такие обобщения могут иметь место и в декар- товых координатах. При этом вначале такую задачу необходимо решить теоре- тически. Представим интенсивность касательных напряжений в виде:
1exp 2exp .
Ti С С (9)
Выражение (9) в какой-то мере напоминает гиперболический косинус. Как видно из представленного решения (8), это не отрицает минус в показателе экс- поненты. С учетом (4), (9) запишем:
1exp 2exp 1sin 2cos .
xy С С C C (10) Представление касательного напряжения в форме (10) расширяет возмож- ности удовлетворения напряжений граничным условиям в очаге деформации.
5. Результаты исследования новых подходов решения задач механики сплошной среды в декартовой системе координат
5. 1. Использование метода аргумент функций комплексной перемен- ной на базе новых обобщенных решений
Для обоснования метода аргумент функций необходимо показать его воз- можности в процессе решения задачи. Рассмотрим интегрирование дифферен- циальных уравнений равновесия с учетом выражения (10), где обозначены ба- зовые функции с присутствием двух аргумент функций. Запишем выражение (10) через функцию комплексной переменной:
' 1
'' 1
' 2
'' 2
exp exp
2
exp exp
2
exp exp
2
exp exp
2 ,
xy
i i
С i
i i
С
i i
С i
i i
С
(11)
где С'1С1С1, С''1С1С2, С'2 С2С1, С''2 С2С2.
Из уравнений равновесия (1) определяются нормальные напряжения в виде:
'
d 0 ,
xyx x f y C
y
For reading
only
'
d 0 .
xyy y f x C
x (12)
Подставляя в выражение для частной производной значение касательного напряжения (11), имеем
' 1
'' 1
' 2
'' 2
1 exp exp
2
1 exp exp
2
1 exp exp
2
1 exp exp .
2
xy
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
С i i i i
x i
С i i i i
С i i i i
i
С i i i i
Аналогичным образом находится производная по координате y. Отличают- ся только нижние индексы, обозначающие частные производные по соответ- ствующим координатам.
В каждой производной фигурирует четыре слагаемые. Подставляя частные производные в выражения для нормальных напряжений (12), получим зависи- мости, записанные в общем виде. Подынтегральные функции в (12) записаны через частные производные по координатам, противоположным той, по кото- рой ведется интегрирование. Это исключает интегрирование в общем виде. Ес- ли осуществить для аргумент функций математический переход от одной пере- менной к другой при помощи соотношений Коши-Римана:
x y, y x,
получим после интегрирования аналитические выражения в общем виде.
При этом:
1exp 2exp 1cos 2sin 0 ,
x С С C C f y C
1exp 2exp 1cos 2sin 0 ,
y С С C C f x C
1exp 2exp 1sin 2cos ,
xy С С C C (13)
x y, y x,
xx yy 0, xx yy 0.
Not
a reprint
Можно показать, что выражения (13) тождественно удовлетворяют гранич- ные условия (3), (4). При Cσ2=0, Cσ1=1 выражения (13) полностью совпадают с (8).
Таким образом, представленный результат (13) показывает, что использование метода аргумент функций позволяет получить не только вариант решения, но и возможность его обобщения с использованием соотношений Коши-Римана.
В (13) показаны не только определяющие базовые функции решения, но и условия существования общего решения – это инвариантные дифференциаль- ные обобщения между аргумент функциями, включая уравнения Лапласа. Из этого следует, что аргумент функции можно определить. Становится известным тип дифференциальных уравнений, через которые находят замыкающие реше- ния. Однако преобразования Коши-Римана, принимаемые в решении, скорее являются допущением, но не доказательством существования решения. Неиз- вестной функцией является гидростатическое давление σ0, что не позволяет за- мкнуть задачу. Для окончательного получения результата необходимо иметь строгие доказательства указанных выше положений и определить значение гидростатического давления в (13). Воспользуемся условием неразрывности деформаций (1), с учетом:
' '
2 0
x y или
' '
0, 2
x y
где 'x x f y
C, 'y y f x
C. Тогда:
2 ' ' 2
0 0.
x y n (14)
Если скобка в (14) равна нулю или постоянной, то уравнение неразрывно- сти деформаций тождественно удовлетворяется. Однако это не единственные варианты решения уравнения неразрывности. Для определенности воспользу- емся интегральными выражениями, присутствующими в каждой из формул для нормальных напряжений:
1 2 1 2
1 2 0
exp exp cos sin
exp exp sin .
n С С C C
n С С (15)
Представляет интерес выражение (15). Может ли оно удовлетворить, как решение, уравнению неразрывности деформаций (14), и при каких условиях.
For reading
only
Речь идет о гидростатическом давлении σ0. Переводя (15) в комплексную фор- му записи, с учетом верхних знаков показателей экспонент имеем:
0 1 0 0
2 0 0
1 exp exp
2
1 exp exp .
2
C i i
i
C i i
i
(16)
Определяя вторые производные по координатам от выражения (16), получим:
2 0
0
1 0
2 2
0
0
1 2 0
0
0
2 2
0
1 exp
2
1 exp
2
1 e
2
xx xx
x x
xx xx
x x
xx xx
x x
С i i
x i i
С i i
i i
С i
i i
0
0
2 2 0
0
xp
1 exp ;
2
xx xx
x x
i
С i i
i i
2 0
0
1 0
2 2
0
0
1 2 0
0
0
2 2
0
1 exp
2
1 exp
2
1 e
2
yy yy
y y
yy yy
y y
yy yy
y y
i
С i
y i i
i
С i
i i
i
iС i
0
0
2 2 0
0
xp
1 exp .
2
yy yy
y y
i
i
С i
i i
Not
a reprint
Подставляем выражения в уравнение неразрывности (14) и группируем.
Убеждаемся в том, что в каждом из операторов присутствуют суммы квадратов, которые можно преобразовать к виду:
x y
x y
2i x x y y
y x
y x
.Такое представление является важным этапом в решении задачи, т. к. по- явившуюся нелинейность можно устранить, принимая произведения скобок равным нулю за счет:
x y, y x. (17) Подставляя условия (17) в оставшуюся часть приведенного выражения, отмечаем, что скобки при комплексной единице равны нулю, т. е.:
0. x x y y x x x x
В результате таких преобразований операторы в уравнениях упрощаются, и уравнение неразрывности деформаций принимает вид:
2
0 1 0
1 0
2 0
2 0
1 exp
2
1 exp
2
1 exp
2
1 exp 0.
2
xx yy xx yy
xx yy xx yy
xx yy xx yy
xx yy xx yy
n C i i
i
C i i
i
C i i
i
C i i
i
(18)
Из (18) видно, что во всех операторах при разных экспонентах присут- ствуют одинаковые дифференциальные соотношения, т. е.:
xx yy, xx yy. (19) С учетом соотношений Коши-Римана (17) можно показать, что суммы вто- рых производных (19) от аргумента функций равны нулю. Действительно:
xx yx, yy xy,
xx yx, yy xy,
For reading
only
тогда
xx yy yx xy 0,
xx yy yx xy 0.
В итоге уравнение неразрывности деформаций тождественно удовлетворя- ется. Следовательно, гидростатическое давление определяется выражением:
0 1exp 2exp 1cos 2sin ,
n С С C C (20) и условиями существования решения уравнения (14), в виде:
x y, y x,
xx yy 0, xx yy 0. (21) Сопоставляя выражения (20), (21) с (13) убеждаемся, что указанные зави- симости замыкают задачу и вносят достаточную определенность в конечный результат. Полученные решения коррелируются между собой при одинаковых объединяющих соотношениях Коши-Римана. Следует добавить, что при опре- делении нормальных напряжений соотношения Коши-Римана принимались в виде допущения, но в случае (20), (21) получены в виде корректного вывода, что воспринимается как доказательство решения задачи.
В итоге, для компонентов тензора напряжений можно записать:
1 exp 2 exp 1cos 2sin 0 ,
x С С C C f y C
1 exp 2 exp 1cos 2sin 0 ,
y С С C C f x C
1 exp 2 exp 1sin 2cos ,
xy С С C C
0 1 exp 2 exp 1cos 2sin ,
n С С C C (22)
x y, y x,
xx yy 0, xx yy 0.
Учитывая, что дифференциальные соотношения в (22) определяют условия существования решений задачи. Это может быть показано на конкретном при- мере. Имеем несколько решений уравнения Лапласа для аргумента тригономет- рической функции, в виде:
Not
a reprint
1 1 ,
y 2 2x,
3 3 ,
xy 4 4
x2 y2
. (23) Подставляя (23) в уравнение Лапласа, убеждаемся, что при всех вариан- тах аргументы тригонометрических выражений являются гармоническими функциями.Поставляя (23) в соотношения Коши-Римана, а затем, интегрируя, получим значения второй аргумент функции:
1 1 ,
x 2 2y,
2 2
3 3 .
2
x y
(24) Выражения (24) удовлетворяют уравнению Лапласа. Следовательно (23), (24) являются замыкающими решениями постановочных уравнений теории упругости. Из данного примера видно, что предлагаемый подход позволяет определить целый ряд аргумент функций, каждая из которых может быть усло- вием единственности для конкретной прикладной задачи. При этом перечень решений является далеко не полным. Такие обобщения касаются определения не конкретных функций, а условий их существования.
Выражения (22) можно представить через гиперболические косинусы и синусы. В этом случае можно записать:
1 2 1 2
1 2 0
cosh sinh
cos sin ,
x С С С С
C C f y C
1 2 1 2
1 2 0
cosh sinh
cos sin ,
y С С С С
C C f x C
1 2 1 2
1 2
sinh cosh
sin cos ,
xy С С С С
C C
0 1 2 1 2
1 2
cosh sinh
cos sin ,
n С С С С
C C
(25)
x y, y x,
0, 0.
xx yy xx yy
For reading
only
Результат, полученный в виде (25), можно сопоставить с решениями, по- лученными при помощи рядов Фурье [4]. Покажем это. Для этого выражения необходимо упростить, т.е. получить частные решения. Принимая C3=C4 в ре- шениях [4], имеем:
2 2
1 2
sin cosh sinh ,
x x С y C y
2
1 2
sin cosh sinh ,
y x С y C y
1 2
cos sinh cosh .
xy x C y C y (26) Приведем в соответствие выражения (25) с выражениями (26). При этом:
1 0,
С С2 2, n0, f x
f y
C 0.В соответствии с методом аргумент функций одно из решений задачи при- нимается в виде (23), (24):
2 2 ,
x 2 2y, 2 .
С учетом упрощений выражения (25) перепишутся в виде:
' ' 2
1 2
sin cosh sinh ,
x x С y C y
' ' 2
1 2
sin cosh sinh ,
y x С y C y
1 2
cos sinh cosh .
xy x C y C y (27) Сравнивая формулы (26) и (27), убеждаемся в их идентичности. Это свиде- тельствует о том, что частные случаи обоих решений, полученных разными ме- тодами, (методом функций напряжений и методом аргумент функций), совпа- дают. Представленное сопоставление определяет достоверность решения (22) и возможность его использования в механических расчетах прикладных задач.
5. 2. Математическая модель переменного асимметричного нагруже- ния защемленной консоли как прикладной задачи теории упругости
В работах [19, 20] представлены тенденции развития расчета напряженно- го состояния при изгибе, включающие попытки реализации обобщенных под- ходов решения прикладных и общетеоретических задач. В публикации [19]
рассматривается задача изгиба толстых прямоугольных пластин с использова- нием теорем взаимности на основе теории Рейсснера. В работе [20] приведено точное аналитическое решение задачи о плоском изгибе под действием про-
Not
a reprint
дольных нормальных нагрузок. При этом нагрузка задана в виде тригонометри- ческого ряда. Данная работа в некоторой степени является обоснованием выбо- ра базовой тригонометрической функции в решении. Полученные результаты подтверждаются результатами конечно-элементного моделирования.
Работы [19, 20] хотя и имеют элементы определенных обобщений, однако не могут быть использованы в других направлениях механики сплошной среды, что ограничивает возможности их применения.
Возможности метода аргумент функций могут быть показаны при решении прикладной задачи, связанной с изгибом консоли, нагруженной на конце [4].
Это одна из задач, в которой кроме решения сопротивления материалов, пока- заны решения математической теории упругости с использованием функции напряжений, рис. 1.
Рис. 1. Поперечный изгиб консоли
Длину консоли обозначим через l, высоту – через h=2c. Консоль заделана на левом конце и нагружена на правом конце силой P. Будем искать решение с использованием метода аргумент функций с учетом рабочих выражений (22)–
(24), т. е.
1exp 1 2exp 1 2sin 1 0 ,
x С x С x C y f y
1exp 1 2exp 1 2sin 1 0 ,
y С x С x C y f x
1exp 1 2 exp 1 2cos 1 ,
xy С x С x C y
0 1exp 1 2exp 1 2sin 1 .
n С x С x C y (28) Имеем условия на контуре, при y=±c, σy=0, τxy=0, при x=l, σx=0, при x=l, y=0, τxy=τmax=τ0, далее:
For reading
only
d .
с xyс
y P (29)
Принимая σy=0, при f(x)=0, имеем:
1exp 1 2exp 1 2sin 1 0 0.
y С x С x C y Отсюда
0 1exp 1 2exp 1 2sin 1 .
С x С x C y (30) Выражение (30) соответствует формуле (28). Подставляя (30) в (28) для напряжения σx, имеем:
1 1 2 1 2 1
2 exp exp sin .
x С x С x C y f y (31) Следующее условие, при x=l, σy=0, подставляем в (31), имеем:
1 1 2 1 2 1
02С exp l С exp l C sin y f y или
2 1exp
1
2exp
1
2sin1
.f y С l С l C y (32)
Граничные условия, по касательным напряжениям на верхней и нижней граням консоли, имеют вид, при y=±c, τxy=0. Отсюда:
1 .
2
с (33)
Рассмотрим следующее граничное условие, с учетом (28), при x=l, y=0, τxy=τmax=τ0,
0 1exp 1 2exp 1 2.
С l С l C (34)
Согласно литературным данным [4], в направлении заделки нормальные напряжения должны увеличиваться и в нулевой точке достигать максимального значения. Это возможно, когда Cσ1=Cσ2=Cσ, т. к. в этом случае разница экспо- нент квадратной скобки для σx становится равной нулю, а нормальное напря- жение достигает максимального значения. Тогда, с учетом (34):
