Протокол № 4 від 11.10

(1)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

О. М. Кобяков, І. Є. Бражник

ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ТА СИГНАЛІВ.

Теорія сигналів

Конспект лекцій

Суми

Сумський державний університет 2017

(2)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ТА СИГНАЛІВ.

Теорія сигналів

Конспект лекцій для студентів спеціальності 172 «Телекомунікації та радіотехніка»

усіх форм навчання

Затверджено на засіданні кафедри електроніки і комп’ютерної техніки як конспект лекцій із дисципліни

«Теорія сигналів та

розрахунку електричних кіл»».

Протокол № 4 від 11.10. 2016 р.

Суми

Сумський державний університет 2017

(3)

Теорія електричних кіл та сигналів. Теорія сигналів : конспект лекцій / укладачі: О. М. Кобяков, І. Є. Бражник. – Суми : Сумський державний університет, 2017. – 125 с.

Кафедра електроніки і комп’ютерної техніки

(4)

3

Зміст

С.

Розділ 1 Спектральний аналіз детермінованих

сигналів. Модуляція………...4 Лекція 1 Спектри періодичних сигналів…....…....…………..4 Лекція 2 Спектри неперіодичних сигналів.…...…... ..20 Лекція 3 Енергетичний спектр. Модуляція………... 35 Лекція 4 Кутова модуляція сигналів ………...…...45 Розділ 2 Спектральний аналіз проходження

детермінованих сигналів через лінійні кола………..55 Лекція 5 Спектральний метод розрахунку реакції

лінійного кола на детерміновані сигнали…………55 Лекція 6 Зв'язок частотних і часових характеристик

лінійних кіл і детермінованих сигналів…………...65 Розділ 3 Кореляційний аналіз детермінованих

сигналів………76 Лекція 7 Автокореляція і взаємна кореляція сигналів……..76 Розділ 4 Випадкові сигнали і перетворення їх

характеристик у лінійних колах……….………....85 Лекція 8 Випадкові величини і випадкові процеси ………. 85 Лекція 9 Стаціонарні випадкові величини в часовому і

спектральному вимірах………94 Лекція 10 Вузькосмугові детерміновані і

випадкові сигнали ………...103 Лекція 11 Перетворення характеристик випадкового

процесу у лінійному колі………...114 Список літератури……….…….124

(5)

4 Розділ 1

Спектральний аналіз детермінованих сигналів.

Модуляція Лекція 1

Спектри періодичних сигналів 1 Поняття сигналу.

2 Спектральний спосіб описування періодичних сигналів.

Ряд Фур’є.

3 Спектри періодичної послідовності відеоімпульсів.

4 Спектри періодичної послідовності радіоімпульсів.

5 Зв’язок між формою сигналу та його спектром.

1 Поняття сигналу

Сигналом (від лат. signum – знак) називають процес зміни у часі фізичного стану якогось об’єкта, призначеного для передавання, відображення, реєстрації повідомлень (інформації). Будь-який сигнал можна спостерігати емпірично (за допомогою осцилографа, приймача, засобів відображення інформації, вимірювального приладу тощо).

Але емпіричне спостереження дозволяє аналізувати лише часткові, одиничні явища сигналів і унеможливлює розкриття фундаментальних властивостей, наприклад, для передбачення їх поведінки в нових, змінених умовах. Тому застосовують описи сигналів через їх математичні моделі.

Математична модель сигналу – це функція часу.

Наприклад:

– неперервний сигнал (гармонічне коливання) ( ) _mcos 0

s t U  t, t  ( , ); – неперервний сигнал (гаусовий імпульс)

2 2

( ) _m ^^{a t} ,

s t U e t  ( , );

– фінітний сигнал (той, що існує на обмеженому часовому інтервалі) – трикутний відеоімпульс

(6)

5

( ), [0, ],

( )

0, [0, ];

Um

T t t T

s t T

t T

  

 

 

 – періодичний сигнал

( ) ( ),



 







i

s tr r t iT i=±1, ±2, …,

де ( )r t – фінітний на інтервалі Т (період послідовності) сигнал і т. п.

Модель сигналу дозволяє абстрагуватися від конкрет- ної природи його носія, одна і та сама модель може адекватно описувати струм, напругу, напруженість поля, по- тужність тощо. До того ж модель описує засадничі, основні властивості сигналів, оминаючи їх другорядні властивості.

Класичні способи описування сигналів – це часовий і спектральний. У першому способі сигнал подається як функція часу (математична модель). Другий спосіб полягає в описуванні сигналу через суму ортогональних складових, що утворюють ортонормовану систему гармонік, тобто у розкладенні сигналу в ряд Фур’є.

2 Спектральний спосіб описування періодичних сигналів.

Ряд Фур’є

Будь-яка періодична функція ( )u x з періодом 2, що задовольняє у межах періоду умови Диріхле, може бути подана рядом Фур’є, який ще називають тригонометричним, або гармонічним:

0

1

( ) ( cos sin ),

2





 



n  n

n

x a a nx b nx

 (1.1)

де

(7)

6

0

1 ( ) ,

1 ( ) cos , 1, 2, ... . 1 ( ) sin , 1, 2, ...



 



  



  





n

a x dx

a x nxdx n

b x nxdx n



 

(1.2)

Нехай періодичний сигнал описується функцією часу s(t) з довільним періодом T2 / . Увівши нову змінну

x,

t перейдемо до функції ( )

  

  

s x  x з періодом 2

T 

  , яку можна розкласти в ряд Фур’є за формулами (1.1) і (1.2). Для функції s(t): xt , 2

,

dx dt dt

T

 

 

( )x s( )t

 . Тоді функція s(t) набере вигляду

0

1

( ) ( cos sin ),

2 _n ⁿ ⁿ

s t a a n t b n t

  



 



 ^(1.3)

де

0

/ 2 / 2 / 2

2 ( ) ,

2 ( ) cos , 1, 2, ... ,

2 ( ) sin , 1, 2, ...

T T T

n

T T n

T

a s t dt

T

a s t n tdt n

T

b s t n tdt n

T











 



  



  





(1.4)

або в іншій формі

(8)

7

0

1

( ) cos( ),

2 _n ⁿ ⁿ

s t c ^ c n t 



 



 ^(1.5)

де

0 0,

c a c_n = √𝑎_𝑛² + 𝑏_𝑛², _n arctg ⁿ

n

b

  a . (1.6)

Відтак періодичний сигнал можна подати у вигляді накладення постійної складової і нескінченного числа синусоїдних (гармонічних) коливань із частотами   ₁ ,

2 2 ,

     ₃ 3 ,… амплітудами c₁, c₂, c₃,… і початко- вими фазами ₁, ₂, ₃,… (рис. 1.1).

К О Л О

. .

.

e(t)

e1(t) e2(t)

ei(t) en(t)

1

2

3

n

Рисунок 1.1

Гармонічні коливання з частотами , 2 , 3 назива- ють першою (основною), другою, третьою і т. д.

гармоніками відповідно. Постійна складова дорівнює середньому значенню коливання за період.

(9)

8

Повний спектральний опис сигналу охоплює:

− послідовність величин



^{  }₁^, ₂^, ₃^{, ...}



− спектр частот;

− ⁰, ₁, ₂, ₃, ...

2

c c c c

 

 

 – спектр амплітуд;

−



  1, 2, 3, ...



− спектр фаз.

Більш практичне застосування одержали амплітудно- частотний спектр (АЧС) – сукупність спектральних ліній, перпендикулярних до осі частот, відкладених у точках

n n

   (n = 0, 1, 2, …), так що ординати їх дорівнюють значенням ⁰, ₁, ₂, ₃, ...

2

c c c c , і фазочастотний спектр (ФЧС) з ординатами   ₁, ₂, ₃, ... (рис. 1.2).

c_n __n

ω ω

0 0

c0/2

c1

c2

c3

 2 3  2

3

1

2

3

При комплексній формі запису ряду Фур’є ( ) 1

2

n jn t

n n

s t c e ^

  

 





^(1.7)

комплексні амплітуди гармонік визначаються

2 2

2 ( ) .

n

j T jn t

n n

T

c c e s t e dt

T

 



 



 



^(1.8)

(10)

9

У випадку комплексної форми ряду Фур’є шкала частот одержує додатково від’ємну піввісь і АЧС стає симетричним відносно осі ординат, а ФЧС – відносно початку відліку координат (рис. 1.3).

c_n

_n

ω ω 0

c1

c2 c3

2 4

12 3

4 2

c4

0 2

4

2

4

1

2

3

4

₄

0

2

c

Часовий і спектральний способи описування сигналів рівнозначні і взаємозамінні; це різні форми подання реально існуючих процесів. Позаяк час і частота є дуальними вели- чинами, то дуальними є і відповідні форми описів сигналів.

3 Спектри періодичної послідовності відеоімпульсів Нехай маємо сигнал у вигляді періодичної послідов- ності відеоімпульсів прямокутної форми (рис. 1.4). На цьому рисунку U_m – амплітуда сигналу, T 2  – період слідування, _u – тривалість імпульсу.

t

0

u(t)

Um



u

t0 t0 + T t0 + 2T Рисунок 1.4

(11)

10

Функція ( )u t у межах періоду може бути описана виразом

0 0

, ,

2 2

( )

0, .

2 2

u u

m

u u

U t t t

u t

t t t T

 

      

    

        

(1.9)

Визначимо ряд Фур’є, що описує цей сигнал.

Комплексні коефіцієнти, або амплітуди гармонік цього ряду розраховуються за формулою (1.8):

2 2

2 ( )

n

T jn t

m n

T

U c u t e dt

T

   



 





0

0 0

2 2

2 2 sin( )

,

u

t jn t jn t

m m

t

U U n q

e dt e

T q n q





 ^

 



   ^(1.10)

де

u

q T

 – шпаруватість імпульсів.

Із (1.10) випливає, що c_n ²^U^m ^{sin (}ⁿ ^q⁾

q n q



 – модуль

комплексного коефіцієнта, _n  n t₀ – його аргумент, і тоді відповідно до ряду Фур’є (1.7) одержуємо розкладення сигналу (1.9) в ряд Фур’є:

( 0)

2

1 sin ( )

( ) .

2

jn t t m

n

U n q

u t e

q n q



 ^{ }



 





^(1.11)

Дійсна форма цього ряду

0 1

2 sin( )

( ) ^m ^m cos ( )

n

U U n q

u t n t t

q q n q



 



 



 ^(1.12)

відповідає виразу (1.5).

(12)

11

У (1.12) перший член ⁰ ₀ 2 Um c

q  U – постійна скла-

дова, 2 sin( )

n

m n m

U n q

U c

q n q



   – амплітуда n-ї гармоніки сигналу ( )u t .

Проаналізуємо одержані формули (1.11) і (1.12) ряду Фур’є для сигналу ( )u t .

1 Постійна складова U₀ і амплітуди

mn

U гармонік пропорційні амплітуді імпульсів U_m і зменшуються зі зростанням їх шпаруватості q, що спричинено зменшенням середньої за період енергії імпульсу.

2 Амплітуди

mn

U не залежать від затримки імпульсу у часі t₀, а залежать від шпаруватості. Натомість початкові фази _n гармонік залежать лише від зсуву імпульсів t₀, а не від амплітуди і тривалості імпульсів. Відтак зсув сигналу у часі t₀ визначає його ФЧС і не впливає на його АЧС.

3 Розподіл амплітуд гармонік підлягає закону аркового синуса _a ^sinx.

S  x Така функція має аркову структуру і визначає знак «+» або «−» перед амплітудами, що відповідає зміні від арки до арки фази гармонік на  (рис. 1.5).

x

1,0

0,4 0,8

– 0,2 0

4

3

2

 sinx

x

(13)

12

Через це вираз (1.12) можна записати по-іншому:

1

2 sin( )

( ) cos[ ( 1) ],

 



 ^m  ^m



 _n 

n

U U n q

u t n t k

q q n q

  

 ^(1.13)

де k1, 2, 3, – номер арки (інтервал значень змінної

 n

x q

 , за яких функція S_a( )x набуває певних за знаком («+» або «−») значень).

4 Спектральні лінії АЧС і ФЧС віддалені від сусідніх на величину частоти слідування імпульсів  2 T. Розпо- діл спектральних ліній за висотою визначається обвідною спектра, характер якої залежить від форми сигналу.

Амплітудно-частотний спектр

Обвідна АЧС періодичної послідовності відеоімпульсів

2 2

sin( )

2 sin( ) 2 ^u

n u

m m

m

U n q U n

U q n q q n







 

перетинає вісь частот, коли аргумент кратний , тобто n кратний q (на частотах, кратних шпаруватості). Тому гармо- ніки з частотами ²

u

qn n 

   у спектрі відсутні.

На рисунку 1.6 показаний нормований АЧС

0 n sin

Um x

U  x сигналу u t( ) (1.9) при q = 4. Під першими арками зосереджена основна частина енергії сигналу, і тому ефективна ширина спектра дорівнює (1 2,5)q.

(14)

13 1,0

0,5 0

0 mn

U U

 ω

q=4

q 2q 3q 3/u f 2/u

1/u

0 F

На рисунку 1.7 досліджується, як впливає на АЧС зміна _u і частоти слідування  2F.

0

0 0

0

0 f

f

f t

t

t u(t) q = 4

mn

U

1/u 2/u 3/u

q = 8

1/u 2/u 3/u

T

u(t) U^mⁿ

mn

U 2T

q = 4

u(t)

2T ^1/(2u)1/u3/(2u) 2/u 5/(2u)

2_u

u

(15)

14

Зі зменшенням частоти слідування Ω при _u const відбувається «згущення» спектра: відстані між лініями зменшуються. Ширина спектра не змінюється, а основна частина енергії розподіляється на більшому числі гармонік.

При збільшенні _u при  const ширина арок і ширина спектра зменшуються (відносне стиснення спектра).

Основна частина енергії розподіляється на меншому числі гармонік і зосереджується в області щоразу нижчих частот. Відтак, що коротші імпульси і більша їх шпару- ватість, то ширший і густіший їх спектр, і навпаки.

Фазочастотний спектр

Із виразів (1.12) і (1.13) випливає, що початкові фази гармонік визначаються так:

0

0, ( ) 0 , ( ) 0

( 1) ( 1) .

n

a n

S x S x

k n t k

 



  



 

   

      

(1.14) Графічною ілюстрацією формули (1.14) є фазочастотні спектри, зображені на рисунку 1.8.

Відтак обвідною ФЧС є пряма з кутом нахилу α, що залежить від зсуву імпульсів t₀.

Урахування зміни фази гармонік на  від арки до арки здійснюється відповідним зміщенням цієї прямої паралельно на  вгору або вниз. Кожна арка, як відомо, має ширину q. Тому величина зсуву фази на арку становить кут

0

tg 0 2 ,

u

q q t t

  

      (1.15)

де  arctgt₀  кут нахилу обвідної ФЧС.

Що більший зсув імпульсів у часі, то більший нахил обвідної їх ФЧС. При t₀0 кут 0(рис. 1.8).

(16)

15 0

0

f f

f t

t



1/u 2/u

_n



_n



1/u 2/u

t0

t₀

u

q = 4

T u(t)

u(t)

u

u(t)

arctg2t0

–arctg2t0

4 Спектри періодичної послідовності радіоімпульсів Нехай маємо сигнал ( )u t (рис. 1.9) – періодичну послі- довність прямокутних радіоімпульсів, де Ω – частота слідування імпульсів; _H – несуча частота.

Um t

T = 2/



u

u(t) TH = 2/ωH

(17)

16 Його аналітичний вираз

cos H , ,

2 2

( )

0, .

2 2

u u

m

u u

U t t

u t

t T

 



 

   

     

(1.16)

Застосувавши до сигналу ( )u t процедуру визначення ряду Фур’є з попереднього питання, одержимо відповідно до форми цього ряду (1.5):

H

1

sin( )

( ) 2 cos

( )

2

sin( )

2 cos[ ( 1)].

( )

2

u m

n u

u m

n u

U n

u t n t

q n

U n

n t k

q n

 

 



 



 

 

 

  



  





(1.17)

Із (1.17) випливає, що обвідна АЧС послідовності прямокутних радіоімпульсів визначається, як і для послідов- ності відеоімпульсів, функцією _a ^sinx.

S  x Різниця лише в тому, що ця функція зміщена по осі частот на величину _H і її максимум при   _H удвічі менший, ніж у випадку відеоімпульсів (рис. 1.10).

Відтак спектр послідовності прямокутних радіоім- пульсів збігається зі спектром послідовності прямокутних відеоімпульсів, зміщеним управо по осі частот на величину

H.

 Ефективна ширина спектра радіоімпульсів удвічі більша, ніж в однакових за тривалістю відеоімпульсів.

(18)

17 0

 ω

m

q

U U^mⁿ

ωH

ωH – 2/u ωH + 2/u

5 Зв’язок між формою сигналу та його спектром Форма сигналу вповні визначається лише сукупністю АЧС і ФЧС. Проте, маючи лише АЧС, можна судити про форму сигналу, і навпаки.

Нехай u(t) – функція часу, сигнал, і k-та похідна u(t) містить дельта-функції (рис. 1.11 – третя похідна). Тоді для коефіцієнтів ряду Фур’є розкладення функції u t( ) справедливі нерівності

n k , a M

n

 _n ,

k

b M n

 (1.18)

де M – стала, що залежить від форми сигналу.

Із рисунка 1.11 бачимо, що ряд Фур’є трикутних імпульсів збігається швидше (амплітуди гармонік спадають швидше при зростанні їх номера), ніж у випадку прямокутних імпульсів.

Відтак швидкість зменшення амплітуд гармонік у спектрі залежить від структури сигналу: коефіцієнти спадають тим швидше, чим «гладшою» є форма сигналу.

Якщо сигнал має стрибкоподібні переходи (його функція має скінченні розриви) і в його першій похідній з’являються дельта-імпульси, то амплітуда гармонік спадає повільно, за законом 1

n.

(19)

18

Якщо сигнал неперервний, але в його першій похідній є скінченні розриви, а в другій – дельта-імпульси, то амплі- туда гармонік спадає швидше, пропорційно

2

1 n

і т. д.

0 u(t)

t

1 3

( ) 1 cos(2 1)

(2 1)

n

u t n t

n

 



  

 

u'(t) 0 t

1 2

( ) 1 sin(2 1)

(2 1)

n

u t n t

n

 



  

 

0

t u''(t)

1

( ) 1 cos(2 1)

2 1

n

u t n t

n

 



    

t u'''(t)

0

1

( ) sin(2 1)

n

u t n t

 



    

Отже, що швидше спадають коефіцієнти Фур’є, то

«гладша» форма сигналу та менша ширина його спектра.

«Найгладшим» є моногармонічне коливання.

(20)

19

Для імпульсних сигналів справедлива рівність

u const,



  (1.19)

де  – ширина спектра сигналу;

u – тривалість сигналу.

Тривалість сигналу і його протяжність у частоті зв’язані співвідношенням неозначеності: що ширший спектр, то менша тривалість, і навпаки.

«Найгладші» сигнали з найбільш плавною зміною у часі мають

u min.



 

Такими сигналами є дзвоноподібні (гаусові) імпульси (перше питання цієї лекції). Саме в них необхідність зменшення тривалості не призводить до великого розширення спектра.

(21)

20 Лекція 2

Спектри неперіодичних сигналів 1 Спектральне подання неперіодичних сигналів.

2 Спектр прямокутного відеоімпульсу.

3 Спектри деяких неперіодичних сигналів.

4 Спектри серії імпульсів.

1 Спектральне подання неперіодичних сигналів Дуже важливими на практиці є неперіодичні сигнали – наприклад, поодинокі імпульси, серії імпульсів. Вони не можуть бути подані у вигляді ряду Фур’є. Щоб застосувати до них спектральний метод опису, необхідно вважати ці сигнали періодичними функціями з періодом 𝑇 → ∞. Тоді подання неперіодичних сигналів за Фур’є може розгляда- тися як границя ряду Фур’є при 𝑇 → ∞.

Скористаємося найзручнішою комплексною формою запису ряду Фур’є:

( ) 1 ,

2

n jn t

n n

s t c e ^

  

 





^(2.1)

де коефіцієнти (комплексні амплітуди) розраховуються як

2 2

2 ( ) ^ .



 



 ^j ⁿ  ^T



^{jn t}

n n

T

c c e s t e dt

T

 (2.2)

Підставимо (2.2) в (2.1), позначивши інтервал між частотами сусідніх гармонік  2 T , одержимо

2 2 2

2

1 2

( ) ( )

2

1 ( ) .

2

 

  

  

   

  

 



 

n T

jn t jn t

n T

jn t jn t

n T

s t e s t e dt

T

e  s t e dt



(2.3)

(22)

21

При збільшенні періоду T амплітуда гармонік c_n зменшується, інтервал ^ зменшується і лінійчастий спектр дедалі «згущується». У граничному переході при T 

0

 d

     , n , і спектр із дискретного стає суцільним. При цьому сума в правій частині (2.3) переходить в інтеграл

( ) 1 ( ) .

2

j t j t

s t e ^ d s t e ^ dt



 



 



 

^(2.4)

Останній вираз являє собою суму нескінченно великого числа гармонічних функцій із нескінченно малими амплітудами і частотами ω, які проходять увесь спектр від

−∞ до +∞. Відтак неперіодичні сигнали характеризуються неперервним, суцільним спектром частот, тоді як періодичні – дискретним, або лінійчастим спектром.

Формулу (2.4) можна подати у такому вигляді:

( ) ( ) ^{j t} , S j ^ s t e^ ^ dt







^(2.5)

( ) 1 ( ) .

2

s t S j ej t^ d











^(2.6)

Формула (2.5) – пряме перетворення Фур’є, а (2.6) – обернене перетворення Фур’є, і вони часто позначаються як

( ) [ ( )],

S j F s t (2.7)

 

( ) 1 ( ) .

s t F^ S j (2.8)

Пряме перетворення Фур’є дозволяє перейти з часової області подання функції на комплексну частотну площину, а обернене перетворення, навпаки, – з комплексної частотної площини на часову.

(23)

22

Основні властивості перетворення Фур’є 1 Лінійність F as t[ ₁( )bs t₂( )]aS j₁( )bS₂(j).

2 Теорема інтегрування ( ) ¹ ( ).

t

F s t dt S j

j 

 

 

 

 

  

3 Теорема диференціювання d ( ) ( ).

F s t j S j

dt  

  

 

 

4 Теорема подібності (масштабу) ^{F s at}



^{( )}



^ ¹^{S j}⁽ ^).

a a

 Щоб стиснути сигнал у часі, зберігаючи форму, необ- хідно розширити його спектр при пропорційному зменшенні амплітуд гармонік.

5 Теорема про зсув (запізнення)



( 0)



( ) ^{j t}⁰. F s tt S j e^ ^ 6 Теорема про згортку

1 2 1 2

[ ( ) ( )] ( ) ( ), F s t s t S j S j

1 2 1 2

[ ( ) ( )] ( ) ( ), F s t s t S j S j де ₁( ) ₂( ) 1 ₁( ) ₂( )

2





 





S j S j  S  S   d ⁻^{згортка} спектрів;

1( ) 2( ) 1( ) ( )2

s t s t ^ s t  s  d



 



 – згортка сигналів.

7 Теорема Релея

 

^{( )} ² ₂¹



^{( )}



² ^,

 

 



^{s t} ^dt _



^S ^ ^d^

де S j( )S( ) e^^j^{ }^{( )} P( )  jQ( ) – спектральна щільність сигналу.

(24)

23

Проводячи аналогію між рядом Фур’є (2.2) та інтегралом Фур’є (2.5), можна прийти до відношення

( ) 1 ,

2 2

n n

n

c c

S j T c

F

  ^  ^  ^

 (2.9)

де 2

2 F T

 

   .

Через те спектральна щільність (S j) має фізичний зміст щільності амплітуд і розмірність амплітуди, поділеної на герц. Вона характеризує гармоніку частоти ω за амплітудою і фазою.

Із (2.9) випливає, що обвідна суцільного спектра ( )S  неперіодичної функції та обвідна лінійчастого спектра періодичної функції c_n( ) збігаються за формою і відрізняються лише масштабом ( )S   c_n

 .

Пряме та обернене перетворення Фур’є мають симет- ричну природу, і це зумовлено дуальністю частоти і часу:

2 ( ) ( ) ,

j j t

j

js j S t e ^ dt

 ^  ^ ^

 

  ^(2.10)

( ) 1 2 ( ) .

2

j j t

j

s t  js j e ^ d



 

 

   ^(2.11)

Інакше кажучи, якщо спектром функції ( )s t є функція ( )

S  , то спектром функції ( )S t – 2 s( ).

2 Спектр прямокутного відеоімпульсу

Нехай маємо сигнал ( )u t – поодинокий прямокутний відеоімпульс (рис. 2.1):

   



₀ ⁰

 

₀ ⁰



, 2 2 ,

( )

0, 2 2 .

m u u

u u

U t t t

u t

t t t

 

    

 

   

 (2.12)

(25)

24

0 t

Um

u(t)

t₀

t₀–



_u

/

2 t₀+



_u

/

2 Рисунок 2.1

Спектральна щільність сигналу (2.12):

0

2 2

[ ( 1)]

( ) ( )

sin 2 ,

2

 

 

 

  

  







u

t

j t m j t

t u

j t k

m u u

S j u t e dt U e

j

U e



 



 

 



 

(2.13)

де 𝑘 =1, 2, 3, … – номер арки.

АЧС сигналу

sin 2

( ) .

2

u

m u u

S U



 ^   (2.14)

ФЧС сигналу

0 0

0, ( ) 0

( ) ( 1).

, ( ) 0

 

     

a a

S x

t t k

S x

    

 ^(2.15)

АЧС сигналу ( )u t (рис. 2.2 а) істотно залежить від три- валості імпульсу _u, але не зв’язаний з 𝑡₀. ФЧС (рис. 2.2 б), навпаки, визначається часом запізнення 𝑡₀.

(26)

25 0

S(ω) j (ω)

ω ω

2 u

 ⁴_u 2 

u

 4 

u





U_m_u

sinx

x 2

2 0

u

 t 4

u





– 2

– ⁴_u

 2

u



а б

3 Спектри деяких неперіодичних сигналів

Радіоімпульс. Нехай маємо поодинокий прямокутний радіоімпульс (рис. 2.3):

H 0 0

0 0

cos , ,

2 2

( )

0 , .

2 2

u u

m

u u

U t t t t

u t

t t t

 



 

      

    

       

(2.16)

0 u(t)

U_m

H H

T 2

 t

_u t0

(27)

26

Спектральна щільність сигналу за (2.16) така:

H

( )0

sin( )

( ) ( ) 2

2 ( )

2

u

j t

j t m u

u

S j u t e ^ dt U e ^{ }

  

    

   



 

   

 





H

( )0

sin( )

2

( )

2

u

j t

u

e ^{ }

  

 

 

 



. (2.17)

Розпишемо функцію (2.17) окремо для АЧС та ФЧС, а також для додатних і для від’ємних частот:

− для ω > 0

H

sin( )

( ) 2 ,

2 ( )

2

u m u

u

S U

  

    

 



(2.18)

H 0

( ) ( )t (k 1);

       – для ω < 0

H

sin( )

( ) 2 ,

2 ( )

2

u m u

u

S U

  

    

 



(2.19)

H 0

( ) ( )t (k 1).

      

АЧС і ФЧС, побудовані за виразами (2.18) і (2.19), наведені на рисунку 2.4. Спектри прямокутного радіоім- пульсу практично відрізняються від спектрів прямокутного відеоімпульсу лише зміщенням по осі частот на величину

H і зменшенням удвічі модуля спектральної щільності.

(28)

27 0

0 S(ω) 2

Um u

ω

H

 4

u

 ⁴_u

(ω) 

H

 H

2 0 u

t



Гаусовий імпульс. Цей сигнал (рис. 2.5) називають ще дзвоноподібним

( )2

( ) _m ^at ,

u t U e^ (2.20)

де 𝑎 – стала, що визначає тривалість імпульсу.

0

t u(t)

U_m

Рисунок 2.5 Спектральна щільність

2

( ) _m 2^a ( ).

S j U e S

a

 

 

 

  

  (2.21)

(29)

28

Внаслідок парності функції (2.20) спектр її є дійсним і також має дзвоноподібну, гаусову форму (рис. 2.6).

0 S(ω)

ω

Um

a



Для гаусового імпульсу, як уже згадувалося,

u min,



  а саме 0, 22

u 2 u

f 



    . Найменша ширина спектра зумовлює найбільшу завадостійкість сигналу.

Експоненційний імпульс. Часова діаграма сигналу (рис. 2.7) побудована за його аналітичним виразом:

, 0;

( )

0, 0.

at

U em t u t

t

  

 

  (2.22)

2/a U_m

0

t 4/a

Рисунок 2.7 Спектральна щільність

( ) U^m .

S j a j

 

 (2.23)

(30)

29

Амплітудно-частотний спектр (рис. 2.8 а):

2 2

( ) .

( )

Um

S

a

 ^  Фазочастотний спектр (рис. 2.8 б):

( )arctg . a

  

–4a 0

–8a 4a 8a

ω 1 S(ω)

Um

a

(ω)

ω 0

/2

/2

а б

Трикутний відеоімпульс. Трикутний відеоімпульс поданий на рисунку 2.9, його спектральна щільність – на рисунку 2.10.

0

t u(t)



u

0

ω S(ω)

4 u



 4

u

 Рисунок 2.9 Рисунок 2.10

Експоненційний радіоімпульс. Експоненційний радіо- імпульс поданий на рисунку 2.11, а його спектральна щільність – на рисунку 2.12.

(31)

30

0 t

u(t)

H

S(ω)

ω 0

H



Рисунок 2.11 Рисунок 2.12 Дельта-функція

Спектральна щільність дельта-функції (рис. 2.13):

𝑆(jω) = ∫ 𝛿(𝑡)𝑒_−∞^∞ ^−jωt𝑑𝑡 = 𝑒^−jωt|_𝑡=0 = 1. (2.24) dt

0

S = 1

t ω

1 0

S(ω)



Із частотно-часової дуальності перетворення Фур’є випливає: якщо спектром дельта-функції є 𝑆(jω) = 𝑆(ω) = 1, то спектром функції 𝑠(t) = 1 буде функція 2𝜋𝛿(ω) (рис. 2.14) із нескінченно малою шириною спектра. З цього випливає, що і спектральні функції гармонічного сигналу cosω₀𝑡 являють собою 𝛿-функції (рис. 2.15).

0

S = 2 t

1 0

s(t) S(ω)

ω

