View of Analyzing the code structures of multidimensional signals for a continuous information transmission channel

УДК 519.72:621.391.1

DOI: 10.15587/1729-4061.2021.242357

Аналіз кодових конструкцій багатовимірних сигналів для безперервного каналу передачі інформації

Л. Н. Беркман, О. Л. Туровський, О. Г. Варфоломієва, Л. А. Кирпач, В. В. Дмитренко, О.І. Покотило

Одним з напрямків підвищення ефективності роботи сучасних телекому- нікаційних систем є перехід до використання багатовимірних сигналі для без- перервних каналів передачі інформації. В результаті проведених в останні роки досліджень встановлено, що забезпечити високу якість передачі інформації в безперервних каналах можна методом об’єднання операцій демодуляції і деко- дування в єдину процедуру, яка передбачає створення кодової конструкції ба- гатовимірного сигналу.

Безпосередньо розглянуті питання оцінки можливості зміною сигнальної відстані кодової конструкції, підвищити ефективність роботи безперервного каналу передачі інформації.

Встановлено, що кодові конструкції типу: ієрархічна кодова конструкція сигналів; ієрархічна кодова конструкція сигналів з евклідовою метрикою; пере- становочна кодова конструкції сигналів; перестановочна кодова конструкції сигналів з евклідовою метрикою, при їх застосуванні мають потенційну мож- ливість до підвищення швидкості передачі інформації через безперервний ка- нал. Вона, при зменшені сигнальної відстані від 10 і більше відсотків, може до- сягати до двох і більше разів.

Здійснено оцінку впливу зменшення сигнальної відстані на ефективність роботи окремих типів кодових конструкцій. Встановлено, що ієрархічна пере- ставна кодова конструкція в порівнянні з ієрархічної кодовою конструкцією, забезпечує виграш до двох і більше разів в швидкості передачі інформації при зменшені сигнальної відстані в два рази. Реалізація процедури модуляції не має принципових труднощів при умові, що для кожного коду кодової конструкції відома процедура кодування при застосування двійкових кодів. Отримані ре- зультати дозволяють побудувати достатньо прийняту по складності проце- дуру демодуляції відповідно визначених типів кодових конструкцій.

Ключові слова: безперервний канал передачі, багатовимірний сигнал, кодо- ва конструкція сигналу, сигнальна відстань.

1. Вступ

Одним з напрямків підвищення ефективності роботи сучасних телекомуні- каційних систем є удосконалення існуючих та розробка нових методів модуля- ції та завадостійкого кодування для безперервних каналів передачі сигналів.

Перехід в телекомунікаційних системах до ансамблів багатовимірних сигналів збільшує швидкість передачі інформації та забезпечує передачу великих пото-

Not

a reprint

ків інформації. При цьому питання забезпечення високої ймовірності передачі інформації вирішуються застосуванням потужного завадостійкого кодування.

Теорія передачі сигналів та теорія завадостійкого кодування довгий час ро- звивались незалежно. Збільшення вимог до швидкості та об’єму передачі інфо- рмації вимагало пошуку нових перспективних теоретичних засад підвищення ефективності модуляції та декодування в безперервних каналах прийому сигна- лу. Одним з таких напрямків є дослідження, спрямовані на оцінку ефективності застосування кодових конструкцій багатовимірних сигналів в поєднанні з зава- достійкими кодами. При цьому процедури модуляції/кодування та демодуля- ції/декодування в таких кодових конструкціях здійснюються сумісно та одно- часно. Очевидно, що при раціональній побудові такі кодові конструкції повинні поєднувати позитивні якості як ансамблів багатовимірних сигналів так і завадо- стійких кодів, передбачають прості алгоритми реалізації в безперервних кана- лах прийому сигналів. Що може забезпечити суттєвий рух в напрямку підви- щення ефективності телекомунікаційних систем.

Використання багатовимірних (з великою базою, складових, складних) си- гналів дозволяє істотно підвищити якість передачі повідомлень по каналах зв'я- зку [1, 2]. Основними характеристиками системи сигналів, тобто безлічі сигна- лів і його взаємно-однозначного відображення на словник джерела повідом- лень, є розмірність сигналу, займана смуга частот, потужність множини сигна- лів і відстань між найближчими сигналами. Для багатьох важливих типів кана- лів граничні характеристики, наприклад потужність при заданих розмірності і мінімальній відстані, вивчені досить добре.

Однак конструктивна теорія сигналів розвинена в основному для дискретно- го, перш за все двійкового каналу, тобто в рамках теорії кодування. У теорії коду- вання дискретний канал, утворений модулятором елементарних сигналів, безпе- рервним каналом і демодулятором елементарних сигналів, вважається заданим.

При цьому не вдається наблизитися до потенційних характеристик безперервного каналу як внаслідок звуження класу сигналів, так і з огляду на недостатнє викори- стання під час декодування відомостей про викривлення сигналу в безперервному каналі. Останній недолік долається при об'єднанні демодуляції і декодування в єдину процедуру прийому в цілому, так званого м'яким (або аналоговим) декоду- ванням (або рішенням) і прийомом в напівбезперервному каналі [3, 4]. Для подо- лання першого недоліку модуляція, тобто перетворення слова повідомлення в си- гнал на вході безперервного каналу, повинна розглядатися як єдина процедура, яка об'єднує кодування і модуляцію елементарних сигналів. Число відомих конс- трукцій сигналів, що відображають такий підхід, невелика.

Основні підходи до базової розбудови різних кодових конструкцій, прин- ципи їх кодування і декодування викладено в [5, 6]. Основи просторової моду- ляції кодових конструкцій для гаусівских каналів та їх класифікація розгляда- ються в [7, 8]. Визначення нижніх меж для кодів перестановок при використан- ні їх в багатовимірних сигналах для передачі безперервних каналах з затухан- нями подано в [9, 10]. Певні перспективні напрямки побудови нових типів ко- дових конструкцій, в тому числі для гаусівських сигналів, описано в [11–13].

For reading

only

Дискретний код також пов'язаний з типом та принципами побудови кодо- вих конструкцій, які використані в тому чи іншому багатовимірного сигналу.

Одним з напрямків забезпечення високої якості передачі багатовимірних сигналів в безперервних каналах є об’єднання операцій демодуляції і декоду- вання в єдину процедуру, яка передбачає створення кодової конструкції багато- вимірного сигналу. Питання оцінки можливості впливу параметрів кодових конструкцій багатовимірних сигналів на ефективності застосування безперерв- ного каналу передачі інформації є актуальним науковим завданням. І в даний час недостатньо досліджене

Важливим науковим завданням є визначення типу кодової конструкцій ба- гатовимірних сигналів, ефективність яких пов’язана з сигнальною відстанню.

Це в подальшому дозволить здійснити аналіз їх можливостей щодо більш точ- ного обліку розподілу сигнальної відстані на множину елементарних сигналів з заданою потужністю. Що, в кінцевому, дозволить здійснити оцінку впливу змін сигнальної відстані на ефективність безперервного каналу передачі інформації.

2. Аналіз літературних даних та постановка проблеми

Проблемам визначення типу конструкції багатовимірного сигналу та оцін- ці його можливостей щодо більш точного обліку розподілу відстані на множину елементарних сигналів з заданою потужністю присвячено ряд робіт.

В роботі [14] наведено результати досліджень щодо аналізу та синтезу ко- дових конструкцій, що призначені для використання в сучасних та перспектив- них телекомунікаційних системах. Подано типи та особливості застосування різних типів кодових конструкцій. Але безпосередньо оцінка ефективності їх функціонування в напрямку впливу сигнальної відстані на ефективність функ- ціонування безперервного каналу в роботі не наведена.

Робота [15] присвячена дослідженням теорії сигнально – кодових констру- кцій та кодового кодування. В поданій роботі достатньо добре в розглянуті пи- тання застосування різних типів кодових конструкцій та визначені напрямки їх удосконалення. Безпосередньо питання оцінки ефективності різних кодових конструкцій в напрямку зменшення сигнальної відстані в даній роботі відсутні.

В роботі [16] розглянуті питання моделювання безперервних каналів зв’язку при можливості використання в них різних кодових конструкцій, але питання безпосереднього зв’язку ефективності каналу та кодової конструкції в роботі не розглянуто. Відповідно відсутні питання оцінки ефективності засто- сування безпосередньо кодових конструкцій.

Робота [17] досліджує розвиток багатовимірних сигналів для обробки за допомогою запропонованої ієрархічного алгоритму кодування на основі нероз- дільної системи. Безпосередньо розглянуто один з типів кодової конструкції си- гналу але без аналізу його ефективності та впливу на неї сигнальної відстані в роботі відсутні.

В роботі [18] на фоні досліджень методу адаптивного декодування авто ор- тогональних кодів розглянуто певні питання оцінки ефективності їх застосу- вання в телекомунікаційних мережах. Але безпосередньо питання аналізу всьо-

Not

a reprint

го комплексу кодових конструкцій та оцінку впливу на їх ефективність сигна- льної відстані в роботі не розглянуто.

Питання підвищення ефективності багатовимірних сигналів розглянуто в роботі [19]. При досліджені ефективності їх застосування автором проаналізо- вано можливості використання різних типів кодових конструкцій таких сигна- лів. Але оцінка впливу на ефективність багатовимірного сигналу сигнальної ві- дстані його кодової конструкції в роботі відсутня.

У роботі [20] досліджені деякі нестандартні набори кодових конструкцій для OFDM сигналів, що вирішують питання врахування різноманіття різних си- гналів OFDM та коливання їх амплітуд, які впливають на їх підсилення. Аналіз функціонування та оцінка ефективності запропонованих в роботі кодових конс- трукцій з точки зору зміни сигнальної відстані в роботі відсутні.

Робота [21] присвячена дослідженням одного з типів перспективних кодо- вих конструкцій багатовимірного сигналу. А саме, в роботі розглянута кодова конструкція типу «дизайн сузір’я». Приведені данні досліджень ефективності роботи розглянутої кодової конструкції при запроектованій сигнальній відстані.

Але розгляд інших типів кодових конструкцій та вплив їх функціонування на ефективність безперервного каналу передачі інформації в роботі відсутні.

В роботі [22] досліджено питання побудови системи розрідженого коду з множинним доступом (SCM). Основою запропонованої в роботі системи є пер- спективна кодова конструкція сигналу на основі оптимізованих унітарних обе- ртань на гіперкубах. Питання управління сигнальною відстанню при оцінці за- стосування такої конструкції в роботі не розглянуті. Також відсутній порівня- льний аналіз існуючих кодових конструкцій та запропонованої системи розрі- дженого коду відносні вирішення поставленого в статті наукового завдання.

Таким чином, науковим завданням, вирішенню якого присвячена дана стаття, є визначення та аналіз типів кодових конструкції багатомірних сигналів для безперервних каналів передачі інформації. Визначені конструкції, при за- безпеченні властивостей щодо простоти та універсальності, повинні забезпечи- ти більшу швидкість передачі інформації в безперервному каналі за рахунок більш точного обліку розподілу сигнальної відстані.

3. Мета та задачі дослідження

Метою роботи є оцінка впливу сигнальної відстані кодової конструкцій ба- гатовимірного сигналу на швидкість передачі інформації в безперервному ка- налі для різних типів кодових конструкцій багатовимірного сигналу.

Для досягнення вказаної мети необхідно:

– проаналізувати існуючі типи кодових конструкцій багатовимірних сиг- налів в напрямку оцінки можливостей зміни їх сигнальної відстані на ефектив- ність роботи;

– методами математичного моделювання здійснити оцінку впливу зміни сигнальної відстані на швидкість передачі інформації в безперервному каналі по окремим типам кодових конструкцій багатовимірних сигналів;

– здійснити порівняльний аналіз та оцінку ефективності зменшення сигна- льної відстані на швидкість передачі інформації в безперервному каналі пере-

For reading

only

дачі інформації по визначеному спектру розглянутих в статті кодових констру- кцій багатовимірних сигналів.

4. Матеріали та методи дослідження

Розглядається структурна схема одноканальної системи передачі інформа- ції, в якій синтезується кодова конструкція багатовимірний сигналу для безпе- рервного каналу передачі інформації.

Структурна схема вказаної системи подана на рис. 1 [14].

Рис. 1. Структурна схема одно канальної системи передачі інформації в безпе- рервному каналі

Для проведення досліджень кодових конструкцій багатовимірних сигналів для безперервного каналу передачі інформації будуть використані методи теорії завадостійкого кодування з виправленням помилок, теорії надмірності радіоси- гналів. Використані також операторні методи перетворення радіо простору, статистична теорія зв’язку, методи визначення вільної відстані інваріантних си- гнально-кодових конструкцій.

5. Результати дослідження впливу сигнальної відстані кодових конс- трукцій на функціонування безперервного каналу передачі інформації

5. 1. Аналіз кодових конструкцій в напрямку оцінки можливостей впливу зміни їх сигнальної відстані на ефективність роботи

Позначимо для багатовимірного сигналу М-ічний код довжини N з словами і мінімальною відстанню Хеммінга d через (N, M, d)м або, при M=M^К, через [N, К, d]M=(N, M^K, d)м. Оператор f модуляції елементарних сигналів співпоставля- ється символу qnϵ{0, …, M–1} слова q=(q1, ..., qN)ϵ(N, М, d)м елементарний сиг- нал xn=f(qn) з безлічі елементарних сигналів X потужності |Х|=M, що міститься в повній безлічі можливих на вході безперервного каналу елементарних сигналів.

А оператор кодування φ слову u словника джерела U слово q коду. Пара відо- бражень f і φ задає відображення словника на безліч сигналів визначаючи конс-

Джерело Кодер

джерела

Кодер

каналу Модулятор

Отримувач Декодер

джерела Декодер

каналу Демодулятор

Безперервний канал Кодек

джерела

Кодек

каналу Модем

Not

a reprint

трукцію системи сигналів, звану далі кодовою. Тут конструктивне безліч сиг- налів, представлене у вигляді Декартового ступеню.

Нехай для кожної пари сигналів визначена міра розрізнення D (x', x"), звана далі сигнальною відстанню або просто відстанню, якщо виключені непорозумін- ня. Сигнальна відстань не обов'язково метрика, але в деяких які представляють ін- терес випадках, є монотонною функцією метрики. Для багатьох (але не всіх) типів каналів сигнальна відстань аддитивна, тобто представимо у вигляді [1]:

 

0

 

1

, , .





 



^{N n} ⁿ

n

D x x D x x (1)

Прикладом може служити квадрат Евклідової відстані (не метрика) або ві- дстані Хеммінга і Лі (метрики). При використанні кодової конструкції зв'язок між мінімальними сигнальною відстанню на безлічі сигналів і відстанню Хе- ммінга d дається в умовах (1) очевидним співвідношення [1]:

 

, ,

, .

min 

   

    

x x A x x

D D x x d (2)

У більшості відомих кодових конструкцій X – одновимірне дійсне (якщо канал низькочастотний) або одновимірне комплексне, тобто двовимірна дійсна множина (при амплітудній і фазовій модуляції елементарних сигналів в смуго- вих каналах). Принципово кодова конструкція придатна при будь-якій розмір- ності у безлічі елементарних сигналів X. Але вдала вона, тільки якщо всі нену- льові відстані в X однакові, наприклад коли X – правильний симплекс (зокрема, складається з двох сигналів) або набір ортогональних сигналів з однаковими нормами. Тоді сигнальна відстань між двома сигналами з А пропорційна відс- тані Хеммінга між словами коду – образами цих сигналів, і при хорошому коді кодова конструкція хороша. Однак при великій потужності М безлічі X, збіль- шення якої необхідно для отримання високої швидкості, відстані на X істотно різні. Кодова конструкція, «яка підміняє» всі ненульові відстані D x x0



_n , _n



най- меншим з них, що можна трактувати як двійкове квантування відстаней, не враховує цих відмінностей. В той же час вона володіє двома важливими досто- їнствами – порівняльною простотою і універсальністю. Під універсальністю приймається принципова можливість отримання систем сигналів довільної роз- мірності і з довільними сигнальними відстанями. Простота забезпечується ре- гулярністю (наприклад, алгебраїчними властивостями) кодів, які об'єднують однотипні елементарні сигнали в багатовимірні. Певного типу кодові конструк- ції зберігають в тій чи іншій мірі ці достоїнства, але дозволяють отримати більш потужні системи сигналів за рахунок більш тонкого обліку розподілу відстаней на X.

Кодові конструкції, засновані на розбитті безлічі елементарних сигналів на непересічні підмножини, в кожному з яких при вдалому розбитті сигнальна від- стань між найближчими сигналами більша, ніж у всіх X. Найбільш зручна ієра-

For reading

only

рхічна конструкція (ІК), в якій ідеї узагальненого каскадного коду [23–25] при- стосовані для системи сигналів з довільною адитивною сигнальною відстанню [26, 27]. Під ієрархією розуміється сукупність L розбиття множин X на класи таких, що всі класи одного рівня (одного розбиття) рівно потужні і можуть включати класи попереднього рівня тільки цілком. Тобто класи попереднього рівня «вкладені» в класи наступного рівня подібно системі внутрішніх вкладе- них кодів узагальненого каскадного коду. Безліч класів (l–1)-го рівня, включе- них в клас 1-гo рівня, відображається взаємно-однозначно на безліч символів Мl-ічного коду (N, Ml, dl)Ml l-го рівня. Що уявляє собою аналог зовнішнього ко- ду узагальненого каскадного коду де M1M2 ... ML=M. Так як сигнальні відстані між елементарними сигналами класу l-го рівня зростають зі зменшенням l, пе- рехід від кодової конструкції з одним М-ічним кодом до багатокодової ІК до- зволяє збільшити потужність безлічі сигналів без зниження мінімальної сигна- льної відстані. Це подібно тому, коли перехід від каскадного до узагальненого каскадного коду дозволяє збільшити потужність коду без зниження мінімальної Хеммінгової відстані [24, 25].

Сукупність L – згортальних кодів дозволяє на базі тієї ж ієрархії отримати згортальний аналог ІК сигналів для безперервного або дискретного каналів з адитивною сигнальною відстанню.

В першу чергу, з точки зору оцінки впливу сигнальної відстані на ефектив- ність роботи кодової конструкції, цікавлять саме ті конструкції, в яких кодування символів на всіх рівнях ієрархії здійснюється через сигнальну відстань [1, 3, 14].

Для подальшого аналізу та оцінки ефективності розглянемо наступні типи кодових конструкцій багатовимірних сигналів [1, 2, 3, 14]:

– ієрархічну кодову конструкцію сигналів(ІК);

– ієрархічну кодову конструкцію сигналів з евклідовою метрикою;

– перестановочну кодову конструкції сигналів;

– перестановочну кодову конструкції сигналів з евклідовою метрикою.

5. 1. 1. Ієрархічна кодова конструкція багатовимірних сигналів

Нехай на безлічі елементарних сигналів X потужності M=M1M2...ML визна- чена ієрархія – сукупність L розбиття на непересічні класи. Кожен клас l-гo рів- ня ієрархії (l-гo розбиття) включає Ml класів (l–1) рівня, тобто складається з μl=M1M2….Ml сигналів. Нумерація класів (l–1)-го рівня, що входять в клас l-го рівня, задає взаємно-однозначне відображення безлічі класів (l–1)-го рівня на безліч цифр {0, ..., Мl–1}. Тому набір (q1n,...,qln), де визначає єдине значення n-го елементарного сигналу, де f – правило (оператор) модуляції елементарних сиг- налів. Порівняємо l-й рівень та мінімальну l-у сигнальну відстань в класі [1, 2]

   

 

1 ln 1 ln

1, ,..., ,..., , ...,

0 , ,

min

     

   

n n

l n qLn q q q q

l n n

q

D x x (3)

де ^{xn  f q}



^{1n,qln ,ql1,n,...,qLn}



^{, xn  f q}



^{1 n,qln,ql1,n,...,qLn}



^.

Not

a reprint

Клас L-го рівня збігається з X, тому δL=δ. У ієрархію можна включити та- кож нульовий рівень з М класами по одному сигналу в кожному і з δ0=∞. Оскі- льки клас наступного рівня може включати клас попереднього рівня тільки ціл- ком, то при можна об'єднати два рівні, опустивши (l–1)-е розбиття, так що мо- жна враховувати, що δ1>δ2>...>δL=δ.

Нехай q1=(qi1, ..., qiN) – слово коду (N, Ml, dl)Ml l-го рівня, словник джерела представляється Декартовим добутком підсловника взаємно-однозначного ві- дображення на код l-го рівня. Під ієрархічною конструкцією будемо розуміти сукупність ієрархії на безлічі елементарних сигналів X, відображення f безлічі наборів (qin, ..., qLn) на безліч X, L кодів рівнів і L відображень φl. Схема відпо- відній послідовності перетворень (модуляції) має вигляд:



1,...,



^



1,..., ln



.

 _L  ^l _{l l} ^f _n

u u u q q q x

Тут ліва стрілка означає розбиття слова на підслова (слово u може являти собою блок в послідовності символів джерела інформації; якщо потужність безлічі блоків менше то деякі слова словника і сигнали не використовуються).

Потім кожне підслово кодується в слово коду (Nl, dl )Ml. Результатом є L кодо- вих слів однакової довжини N. Модулятор елементарних сигналів перетворює набір з n–х символів всіх слів в n-й елементарний сигнал, що надходить на вхід каналу.

Твердження 1. Ієрархічна конструкція задає систему сигналів з потужніс- тю безлічі сигналів і з мінімальною сигнальною відстанню [3, 14]:

 

^.

min

 

 _{l l}

i l L

D d (4)

Твердження про число сигналів очевидно. Зрозуміло також, що ІК задає сис- тему сигналів, тобто взаємно-однозначне відображення словника U на безліч сиг- налів A. Для доказу (4) розглянемо відстань між двома сигналами x  



x1,...,x_N



,



1,...,



,



  _N

x x x де x_n  f



q1_n,...,q_Ln



, x_n f



q1_n,.. ,. q_Ln



. При x′≠x′′ знайдуться хоча б одне l і одне n такі, що q₁_n q₁_n і, тоді, знайдеться



1 1



max : , 1 , 1 , .

  l q_n q_n  l L  n L Тоді δλ – найменше з ненульових відста- ней між елементарними сигналами, що входять в x′ та x′′ будь-яка з таких відста- ней D0



x_n,x_n



  _



q1_n,q1_n



, де 



q1_n,q1_n



– символ Кронекера (0 або 1). Звідси:

   

1

, _{ } , _{  },



    

 



^N ⁿ ⁿ

n

D x x q q d (5)

оскільки сигналам з при відповідають різні слова коду λ-го рівня. Так як таке λ знайдеться для будь-якої пари неоднакових сигналів з, то з (5) слідує (4).

For reading

only

При заданій мінімальній сигнальній відстані D мінімальні Хеммінгові від- стані кодів доцільно вибирати рівними [1, 2]:

 ,

  

l l

d D (6)

де ]D/δl[ – найменше ціле число, що не менше D/δl.

Оскільки при l<L, то необхідну для кодів всіх рівнів, крім останнього, відс- тань Хеммінга dl може бути, особливо для перших рівнів, істотно меншим d=dL, що і дозволяє збільшити потужність безлічі сигналів при ІК в порівнянні з кодовою конструкцією.

Зауваження 2. 1. Ієрархію задають будь-які L відносин еквівалентності на X, якщо кожне розбиває X на рівнопотужні класи і клас наступного відношення еквівалентності включає або все, або жодного елемента класу попереднього ві- дношення. Так, якщо X взаємно-однозначно відображається на групу G (напри- клад, [8, 11]) і G₁G₂...G_L G – її підгрупи порядків μ1, …, μL, де μL=M1…Ml, то суміжний клас групи G по підгрупі Gl відображається на клас l- го рівня ієрархії. До ІК такого типу з Хеммінговою відстанню в якості сигналь- ного відносяться узагальнені каскадні коди. Якщо X задано (як область значень) функцією цілочисельних аргументів, то відношення еквівалентності можна ви- значити фіксацією деяких аргументів.

Нехай (λ1,…., λΛ) – перестановка індексів і qln=pλ. Всякому такому впоряд- куванню індексів відповідає Λ-рівнева ієрархія з мінімальними відстанями δl, обумовленими (3). Замість перестановки можна скористатися іншою довільною взаємно-однозначною відповідністю наборів (p1n,…., pΛn) і (q1n, …, qLn), що за- даються L функціями. Загальний метод такого перекодування змінних, який приводить до вдалої ієрархії, нам невідомий. Деякі прийоми перекодування на- ведені в прикладах 8–10.

Зауваження 2. 2. Системі сигналів, що задана ієрархічною конструкцією, можна співпоставити і інші ІК, так як будь-яка з L! перестановок рівнів визна- чає будь яку ІК. Нехай при і-й перестановці qln став символом l-гo рівня, на якому з урахуванням відповідних змін в (3) порядку фіксації символів мініма- льна відстань дорівнює ^{( )}_lⁱ . З твердження 1 випливає оцінка знизу



^{( )}



min .

 _lⁱ _i

D d Ця оцінка справедлива при всіх перестановках, тому



^{( )}



max min .

 _{i l} _lⁱ _i

D x d

5. 1. 2. Ієрархічна кодова конструкція багатовимірних сигналів з евк- лідової метрикою та поворотною модуляцією

Нехай сигнал представляється вектором NV-мірного речового евклідова простору, складеним з Nv-мірних векторів (елементарних сигналів).

Евклідова відстань не адитивна, але її монотонна функція – квадрат евклі- дової відстані, який визначений як енергетичною відстанню. Вказана відстань не є відстанню в загальноприйнятому сенсі, так як не задовольняє «аксіомі три-

Not

a reprint

кутника», але вона адитивна і може служити сигнальною відстанню ІК. З моно- тонності слідує, що оптимізація сигналів за мінімальними енергетичною і евк- лідовою відстанями еквівалентні. Розглянемо приклади, враховуючи, що енер- гетична відстань між двома елементарними сигналами [2, 3]

       

 

2 2 2

0

2 2

,

2 cos 2 4 sin ,





      

     

              



n n in in n n

i

n n n n n n

D x x x x

(7)

де ρn=|xn| – норма вектора xn, φ – половина кута між векторами x_n та x_n.

Нехай v=1 і одномірна множина X має вигляд X={x=A+qna:0≤qn≤M–1}, де А і а – константи, а символ представляється позиційним записом у вигляді L- розрядного числа зі змішаною підставою, тобто [2, 3]:

1 2... ... _1, .

   

n n L L n L Ln

q q M M q M q (8)

Класом l-гo рівня ієрархії є підмножина з X, відповідна фіксованим, вна- слідок (3), (7), що разом з (6) визначає необхідну для коду l-гo рівня мінімальну Хеммінгову відстань dl. Відповідна ІК відрізняється від конструкції роботи [12]

тільки правилом вибору Хеммінгових відстаней dl.

Якщо всі значення кожного із символів qln вважати рівноімовірними, то се- редня енергія елементарного сигналу мінімальна при A=–a(M–1)/2 і дорівнює при цьому [2, 12]:

 

2 2

1 / 12.

 

E a M (9)

Розрахунки показують, що при N=32, r=1 кодам (32, 26, 4)2 і (32, 6, 16)2 ві- дповідає система сигналів M=2³² з мінімальною енергетичною відстанню D=12,8 при одиничній середній енергії на координату. Це в 3,2 рази більше, ніж при без надлишкових двійкових сигналах ±1. Для того щоб отримати при тих же систему сигналів за допомогою кодової конструкції, потребувався б четвер- тинний код (32, 16, 16)4, який не існує (він перевершує границю Хеммінга [26]).

Зауважимо, що конструкція цього такої кодової конструкції придатна при 16-ічній амплітудно-фазовій модуляції, якій відповідають двовимірні елемента- рні сигнали у вигляді пари одновимірних четвертинних [6].

Далі розглядаються сигнали з однаковими енергіями Nv (при одиничній середній енергії на координату), тобто сигнали на сфері, оператор демодуляції яких інваріантний в відомих умовах до масштабу сигналу. Щоб скористатися ІК для побудови таких сигналів, зробимо більш сильне допущення, що енергія кожного v-мірного елементарного сигналу дорівнює

2 2

1_n  ... _n  .

x x (10)

For reading

only

Іноді (10) відображає також фізичні обмеження на сигнал, наприклад пов'- язані з пікфактором.

Задовольняє (10) безліч елементарних сигналів X належить сфері радіусу, тобто являється політопом [28] (під політопом будемо розуміти як фігуру, так і сукупність її вершин, а під його радіусом – радіус сфери). Вершини такого еле- ментарного політопа можуть бути отримані одна з другої поворотом в v- вимірному просторі, який описується v–1 кутами, тому відповідну модуляцію елементарних сигналів можна назвати поворотною. Фазова модуляція (ФМ) – окремий випадок поворотної при v=2. При складовій поворотній модуляції ба- гатовимірний сигнал являє собою набір N елементарних сигналів з поворотною модуляцією кожного з них.

Політоп X допускає відображення на відповідну ортогональну дійсну (або унітарну комплексну) групу v-мірного простору і ієрархія може бути описана рядом підгруп цієї групи. Однак в цих прикладах можна обійтися більш наоч- ними геометричними уявленнями, не привертаючи понять груп рухів. Спочатку вибирається який-небудь елементарний сигнал хn, який приймається в якості (виродженого) елементарного політопа нульового рівня. M1 його поворотів (без збігів вершин) дають M1-вершинний політоп (клас) першого рівня. Об'єднуючи М2 поворотів політопа, отримуємо політопа – клас другого рівня і так далі. Ене- ргетичною відстанню δl є квадрат довжини найменшого ребра політопа. Якщо – кут між вершинами на цьому ребрі, то внаслідок (7), (10) отримаємо [3, 28]:

2

1 4 sin .

   _l (11)

При складовій фазовій модуляції (СФМ) 2N-мірний сигнал утворений N сигналами M-ічної ФМ. Якщо М=M1 ... ML, то придатна ІК сигналів СФМ (вона майже не відрізняється від конструкції роботи [12], як і в прикладі 1), при якій клас l-гo рівня ієрархії виходить Мl поворотами правильного (M1 ... Ml–1) – кутника. Мінімальна енергетичне відстань в класі дорівнює 0 [2, 12].

 

2

8sin / 1... .

 _l  M M_l (12)

Сигнал СФМ визначається набором фаз (a1, ..., аN), де [2, 3]:

 

0



1 1



arctg / 2 / ... / ... ,

     

n in n n in Ln L

a x x a q M q M M (13)

qlnϵ{0,…, Ml–1}, ano – довільна початкова фаза.

Тут суму в дужках або частину її доданків можна уявити також за допомо- гою китайської теореми про залишки, якщо відповідні МL взаємно-прості [26].

При Ml=2 або 3 Хеммінгова відстань коду l-гo рівня строго пропорційна енер- гетичному. Якщо, крім того, δl відносяться як цілі числа, то в (6) можна уникну- ти втрат на округлення. У цьому сенсі цікаві дворівневі конструкції з M=4 і 6.

Сигнал при фазова модуляція типу ФМ-4 (QPSK – Quadrature Phase Shift Keying) Четвертинний ФМ можна розглядати як пару двійкових одновимірних

Not

a reprint

сигналів зі значеннями ±1. Це дозволяє порівняти ІК ФМ-4 типу СФМ з най- кращою ФМ-4 типу СФМ. Нехай xn–1=–(–1)p2n–1, x2n=–(–1)p2n, і двійковий набір належить коду (2N, d)2, який визначає систему з сигналів з мінімальною енерге- тичною відстанню D=4d1. Якщо цей код найкращий, то ніяка четверична СФМ не може дати більшого числа сигналів. З іншого боку [3, 12],



1 2

   

2 1 2



2

arctg / / 4 / 2 _ ,

         

n n n n n n

a x x

де Θ означає додавання по модулю 2.

Порівнюючи цей вираз з (13) при L=2, M1=M2=2 бачимо, що q1n=p2n, q2n=p2nΘp2n–1. Звідки випливає, що, в даному випадку, використання ІК екві- валентно звуженню безлічі всіх двійкових кодів довжини 2N до його підм- ножини. Що вкладається в конструкцію Плоткіна, яка визначається через пряму суму кодів [26].

Відомо, що конструкція Плоткіна призводить до хороших або навіть опти- мальних кодів.

Приклад 1. M=6, M1=3, M2=2, δ1=6, δ2=2. При D=6d1 тут необхідні коди і Як- що D=6, то код першого рівня безізбиточний і при N=2^m–1 другим може служити код Хеммінга. Тоді щоб отримати D=12, потрібні коди [N, N–1, 2]3 першого і дру- гого рівнів, наприклад код БЧХ [32, 21, 6]2, в цьому випадку, тобто більше, ніж при четверичній ФМ при відстані більшій, ніж при двійковій ФМ.

Якщо при M=6 замість (13) скористатися поданням на основі китайської тео- реми про залишки. Тобто прийняти an=(2p1+3p2)π/3, де p1 трійчастий, p2 двійковий символи, ототожнюються з символами кодів двох рівнів, то ієрархії різних конс- трукцій прикладів можуть розрізнятися тільки перестановкою рівнів.

Ієрархії зазвичай тим краще, чим більше вершин у політопа перших рівнів, якщо, звичайно, довжина найменшого ребра кожного політопа Х^(l) близька до максимальної при даному числі вершин для всіх l.

При v=3 в якості елементарного політопа можна взяти один з численних правильних або напівправильних багатогранників, кожному з яких зазвичай можна зіставити кілька ієрархій. Наприклад, куб (±1, ±1, ±1) можна представи- ти як M2=4 класу першого рівня, кожен з яких містить M1=2 протилежні верши- ни. Тоді δ1=4, v=12, δ2=4. Іншу ієрархію дають два повороти тетраедра (М1=4, М2=2, δ1=8, δ2=4). Звичайно, куб не дозволить отримати систему сигналів, кра- щу найкращої четвертної СФМ. Найвдаліше є ієрархії, що складені з вершин ікосаедра, додекаедру та об'єднання цих фігур (орієнтованих так, щоб центри граней однієї і вершини іншої лежали на одних променях з початку координат) і архимедова напів-правильного багатогранника [5, 28].

Ікосаедр, зокрема, можна розглядати як шість поворотів діаметра (М1=2, М2=6, δ1=12, δ2=3cos² (π/10)). А додекаедр – як п'ять поворотів тетраедра (M1=4, M2=5, δ1=8, δ2=16–sin² (π/10)) [19, 20].

Ряд правильних і напівправильних чотиривимірних фігур описуються кін- цевими групами кватерніонів [20], що мають власні підгрупи.

For reading

only

5. 1. 3. Перестановочна кодова конструкції багатовимірних сигналів Нехай множина X елементарних сигналів розбите на R непересічних підм- ножин X^{ 0},...,X^R1, P – код довжини N із символами pn ^



^0,...,R^{1 .}



Зістави- мо слову p^



pi^,...,pN



^P конструктивний клас сигналів

 ^p   ^p1  ...  ^pN

X X X і припустимо, що в класі X^(p) обраний клас сигналів

 ^p   ^p

A X потужністю M^(p) з мінімальною сигнальною відстанню D^(p), а мініма- льна відстань між конструктивними класами сигналів рівна

 ^{r p, min}



 ^{r ,}  ^p



^,

D D x x x^(r)ϵX^(r), x^(p)ϵX^(p). Повна множина сигналів [3, 4]:

 .



 ^p

p P

A A (14)

Конструкцію системи сигналів, що обумовлена множиною А та її взаємо однозначним відображенням на словник джерела, назвемо неоднорідною конс- трукцією (оскільки кожний клас X^(p) утримується в Декартовому добутку X^(P) неоднакових множин X^(Pn)). Очевидно

Твердження 2. Неоднорідна конструкція визначає систему сигналів поту- жності [4]:

 .







^p

p P

M M (15)

з мінімальною сигнальною відстанню [2, 3]:

   



^,



,min, , .

 

 ^{p r p}

r p P r p

D D D (16)

Більш зручної може виявитися інша оцінка мінімальної сигнальної відста- ні, що використовує мінімальну Хеммінгову відстань dp коду P. Нехай

 

min , ,

 _x _x i j i j – найменша із сигнальних відстаней [2, 3]:

 

^, _{ } ^min_{   ,   } ⁰



^{ ,  }



^,

 

i i j j

n n

i j

x n n

x X x X

i j D x x 0i j,  R 1, (17)

між підмножинами множини елементарних сигналів. Тоді із твердження 2 і адитивності сигнальної відстані безпосередньо отримуємо

Наслідок. Мінімальна сигнальна відстань неоднорідної конструкції систе- ми сигналів задовольняє умові [3, 5]



 



min , .

  ^p _{x P}

D p P D d (18)

Not

a reprint